Identificando as Cônicas
Produzido por Aline BuzziTeoria
Cônicas
Pra finalizar o assunto, agora vamos ver como reconhecer algumas quádricas, especialmente as cônicas do . Fazemos isso olhando a cara da equação, podendo ela estar simplificada ou até bem feia.
Elipse
Um exemplo de elipse é a curva definida pela equação:
A equação equivale também à:
Assim, a equação geral de uma elipse é:
Onde e são os semieixos.
Cuidado!!! Pra elipse e pras cônicas seguintes quando a gente falar de equação geral quer dizer somente que todas as cônicas desse tipo tem a equação simplificada desse jeito. Se aparecer termos mistos e lineares nós vamos simplificar como vimos agora a pouco e ver no que dá.
Hipérbole
Um exemplo de hipérbole é a curva definida pela equação:
E a equação geral:
Se ligue que se aparecer:
Também é uma hipérbole, só tocamos as coordenadas.
Parábola
Um exemplo de parábola é a conhecida curva:
E a equação geral:
De novo, vale também:
O que vamos ter que fazer geralmente é simplificar as equações que os derem e ver de qual tipo é a equação em que chegamos.
Cuidado com as degenerações
Tem uma coisa muito perigosa que a galera geralmente aprende. Eu vou mostrar aqui o que é mas ATENÇÃO, esse método não é muito bom pois não dá pra verificar as degenerações.
Se a equação da cônica é:
E:
Tipo o da Fórmula de Bháskara, temos que:
Elipse
Parábola
Hipérbole
Isso em geral funciona, MAS NEM SEMPRE!! Porquê??
Veja por exemplo a quádrica:
Temos:
Logo esperamos que seja uma hipérbole, mas ela é na verdade isso aqui:
Um par de retas!! Vamos simplificar a equação e ver porquê. Completando quadrados:
Fazendo:
Chegamos em:
Ou:
Ou seja, um par de retas. Essas degenerações podemos ver simplificando as equações, mas não com o método do . Esse método não é inútil, serve para diferenciar entre os 3 tipos de cônica. Por exemplo, se o de uma equação for , ela não pode descrever uma hipérbole ou uma elipse, só uma parábola ou uma degeneração desta.
Mais uma vez pra fixar, cuidado com as degenerações.
Agora você pode estar se perguntando, cadê as quádricas do .
Quando passamos para o as coisas ficam mais complicadas, não existindo nem um consenso sobre como chamar cada coisa. Além disso, esse caso não cai nas provas. Então não se preocupe.
Bora que vamos!