Teoria
Você já imaginou se pegássemos uma curva, por exemplo, uma parábola e nela colocássemos um conjunto de retas paralelas, qual superfície obteríamos??
Não sabe ou nem consegue imaginar?? E se eu te dissesse que você já conhece vários tipos de superfícies? Por exemplo, rolos de papel higiênico é um exemplo perfeito para as superfícies cilíndricas, um chapéu de festa de aniversário é uma superfície cônica e aqueles corpos curvilíneos são um exemplo de superfícies de revolução!
Ok, mas o que são de fato as superfícies cilíndricas, cônicas e de revolução? Como representar essas superfícies algebricamente?
Relaxa Aí!! Vamos te ensinar direitinho como são formadas as superfícies cilíndricas, cônicas e de revolução ;).
Superfícies Cilíndricas
Para a gente forma a superfície cilíndrica, precisamos primeiro de uma diretriz, ou seja, uma curva que vamos usar de base para a superfície cilíndrica.
Para criar a superfície de fato, precisamos de um conjunto de retas paralelas a uma reta , chamadas de geratriz, que contém algum ponto da curva :
Se você der uma olhada na figura acima, repara que todas as retas paralelas à (em rosa) tem um ponto em comum com a reta diretriz (em azul) e é isso que vai definir a nossa superfície cilíndrica!
Ainda tá um pouco confuso??
Vamos te ensinar o passo a passo de como obter a equação da superfície!!
Considerando a diretriz e geratrizes paralelas a , sendo um vetor diretor de e
Pela definição, temos que um ponto pertence à superfície se, e somente se, existem um ponto de e um número real tal que . Podemos então escrever que:
Para garantir que pertence à superfície, então existe um número real tal que
Pronto!! Com as duas relações acima conseguimos encontrar a equação da superfície cilíndrica!!
Vamos ver um exemplo para ficar mais claro!
Exemplo:
Vamos achar a equação da superfície cilíndrica de diretriz e reta .
Beleza, a primeira coisa que faremos é igual a sua equação original
Vai ficar assim, ô
Da equação de , temos que . Substituindo isso em
Temos que,
Agora, vamos substituir em para achar a bendita equação da superfície cilíndrica!
De tiramos que . Substituindo isso em e simplificando, obtemos:
Que é a equação da superfície cilíndrica!!!! UHULLLLL
Viu só?? Os exercícios são bem mais simples do que a teoria!
Superfícies Cônicas
Para gerar uma superfície cônica vamos precisar novamente de uma diretriz, mas além disso também vamos precisar de um Vértice :
A superfície cônica vai ser definida pelo conjunto de retas, chamadas de geratriz, que contém o vértice e algum ponto de , chamada de. Reparem que NÃO contém o vértice!
Como fizemos anteriormente, vamos explicar como obter as equações da superfície!!
Considerando uma superfície cônica de diretriz e vértice sendo e
Pela definição, um ponto , distinto de , pertence à superfície se, e somente se, existe um ponto em e tais que . Escrevendo com equações paramétricas, temos
Assim, pertence à superfície se, e somente se, ou existe um número real tal que
Com as duas equações acima conseguimos determinar a equação da superfície cônica!! ;)
Vamos ver um exemplo!
Exemplo:
Ache a equação da superfície cônica com e diretriz .
Vamos resolver igualzinho o da superfície cilíndrica!
Então, vamos escrever a equação da diretriz que nem a sua forma original,
Como o vértice é , vamos substituir em
E ficaremos com:
Substituindo em , temos
De tiramos que . Substituindo essa relação em e simplificando, obtemos:
E essa é a equação da nossa superfície cônica!!!! YEYYYY
Estamos quase terminando a teoria!! Para finalizar vamos falar sobre superfície de revolução!!
Superfícies de Revolução
As superfícies de revolução estão muito presentes no nosso dia a dia e nós as vemos sempre!
Um exemplo de superfície de revolução diferente do já citado no inicio é a superfície esférica, que pode ser formada rotacionando uma semi circunferência (arco de ) em torno de um eixo.
Agora vamos definir o que são essas superfícies! Olhando na figura abaixo, a superfície de revolução é definida pelo conjunto de circunferências, cujos centros pertencem à e interceptam . Ou seja, é a superfície formada pela rotação de uma curva () em torno de .
Reparem que as circunferências estão em planos perpendiculares à , como o plano em verde, mostrado no segundo desenho.
Nessa superfície se chama geratriz e agora será o eixo de rotação ou eixo de simetria.
Assim, para obter as equações da superfície gerada pela rotação de em torno de vamos considerar que:
- Considerando um ponto pertencente a .
- o vetor diretor de
E que
Para encontrar a equação da superfície devemos satisfazer todas as regras da definição:
1- Um ponto pertence à superfície se, e somente se, pertence a um paralelo que intercepta em .
2- O paralelo é a interseção do plano que contém e é perpendicular a , , com a superfície esférica de centro que contém , ou seja, . Logo, pertence a superfície se, e somente se, existem números reais e tais que e
Com as quatro relações acima devemos encontrar uma relação entre de forma que conseguimos escrever a equação da superfície apenas em função de e .
Vamos fazer um exemplinho!
Exemplo:
Vamos achar a equação da superfície de revolução com , eixo de simetria e centro .
A resolução desse exercício é um pouco diferente dos outros que fizemos, mas também é bem tranquila! Olha só:
Vamos escrever na sua forma original
Sabemos que e . Com isso escrevemos a relação
Que fica:
Assim, formamos o sistema:
Resolvendo em função de , temos a resposta
Terminamos a teoria!! Ufa!
Não deixe de fazer os exercícios para entender bem essa teoria chatinha!!
Bora praticar?!