Teoria

O Teorema de Laplace é um método muito útil para calcula o determinante de uma matriz de ordem . Principalmente quando temos matrizes grandes e não conseguimos usar a Regra de Sarrus!

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Como fazer o teorema de Laplace?

A gente vai aprender na prática como calcular o Teorema de Laplace! Então se liga na matriz abaixo:

Determinante: Exemplo
Determinante: Exemplo

Para calcular o determinante de , usando o teorema de Laplace, vamos seguir os seguintes passos:

  • 1º Passo: Selecionar uma linha ou coluna, com a maior quantidade possível de elementos igual a zero;
    • Para o nosso exemplo a melhor fila seria a quarta coluna, porque ela tem a maior quantidade de zeros e isso vai facilitar nossas contas

  • 2º Passo: Calcular o cofator de cada elemento da fila escolhida

  • 3º Passo: Somar os produtos dos números da fila selecionada pelos seus respectivos cofatores.
    • No nosso exemplo vai ficar assim:

Cofator - Como Calcular?

O cofator é uma matriz de ordem em que seus elementos são dados por:

Onde:

  • é o cofator do elemento ;
  • é o determinante da matriz resultante após a eliminação da linha e .

Eu sei que nada tá fazendo sentido, então vamos focar no exemplo que vai ficar mais claro!

Determinante de M: Linha escolhida
Determinante de M: Linha escolhida

Lá em cima eu falei que precisávamos escolher uma fila com o maior número de zeros possível, lembra?!

Então, vamos precisar calcular o cofator de cada elemento dessa linha! Vamos começar com o número que é o elemento , também chamado de menor complementar.

Para isso a gente vai eliminar a linha e a coluna onde esse elemento esta:

Eliminação das linhas e colunas
Eliminação das linhas e colunas

Com isso, vamos criar uma nova matriz e calcular a determinante dessa matriz:

Determinante do menor complementar
Determinante do menor complementar

Lembra da fórmula do cofator?

A gente vai substituir nossos valores nela:

E prontinho! Calculamos o cofator do primeiro elemento. Agora é só fazer o mesmo para os demais elementos!

No nosso exemplo, tanto o quanto o vão ser multiplicados por . Então a gente nem precisa se dar ao trabalho de calcular e é exatamente o motivo de escolhermos uma fila com muitos zeros!

Agora eu vou te dar o gabarito do elemento :

Calcular o determinante por Laplace

Agora é só substituir os cofatores no teorema de Laplace e pronto!

Lá em cima tínhamos:

Podemos eliminar os elementos multiplicados por zero:

Substituir os cofatores:

Prontinho!!

Teorema de Laplace - Exercício Resolvido

Pra terminarmos com chave de ouro, se liga nesse exercício sobre Teorema de Laplace que eu separei pra você 👇

Bora praticar com mais exercícios?!

Teorema de Laplace - Exercício Resolvido

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