Determinantes por Escalonamento: Como Calcular?

Produzido por Bruno Pestana
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Teoria

Heeey! Bem vindo ao RespondeAí! Hoje você vai aprender de uma vez por todas a calcular um determinante por escalonamento!

Imagina que você tem que calcular o determinante de uma matriz bem grande, vamos supor uma matriz :

E agora?! O que fazemos?!

Como calcular o determinante da matriz por escalonamento?

Sempre que a matriz for triangular (tanto superior quanto inferior), o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Isso naturalmente vale para uma matriz diagonal também ;)

Matriz triangular inferior.
Matriz triangular inferior.

Ah, então nem é tão difícil esse exemplo, a nossa matriz é triangular! Então o determinante é

Seria ótimo se pudéssemos sempre escalonar uma matriz para calcular os determinantes, não? Porque é bem fácil calculá-los em matrizes que já estão escalonadas. Lembre-se que para matrizes quadradas, uma matriz escalonada vira uma matriz triangular superior!

A boa notícia é que você pode fazer isso! 🤩

Escalonamento de Matrizes

Vamos aprender fazendo um exemplo! Se liga nessa matriz 4x4:

Exemplo: Matriz 4x4
Exemplo: Matriz 4x4

Para escalonar essa matriz vamos fazer algumas operações simples!

Só deve tomar cuidado com três coisas:

  • Quando você troca linhas ou troca colunas de lugar, o sinal do determinante muda;
  • Quando você multiplica uma linha por um escalar, o determinante também é multiplicado por esse escalar;
  • Se você troca uma linha/coluna por um múltiplo de uma outra somado a essa linha/coluna, o determinante não se altera.

Esquematizando, seja a matriz  a matriz antes de realizar essas operações, e a matriz  a matriz depois de realizada essas operações:

çã

OBS: Cuidado com esta última operação!! Se você fizer o determinante muda de sinal!! É como se tivesse multiplicado a linha por e depois realizado a operação elementar.
Vamos usar essas propriedades para calcular o seguinte determinante:

Usamos a operação elementar para alterar a segunda linha:

Escalonamento - Operação elementar na segunda linha
Escalonamento - Operação elementar na segunda linha

Agora a terceira:

Escalonamento- Operação elementar na terceira linha
Escalonamento- Operação elementar na terceira linha
Escalonamento- segunda operação elementar na terceira linha
Escalonamento- segunda operação elementar na terceira linha

E finalmente, a última linha:

Escalonamento - operação elementar na quarta linha.
Escalonamento - operação elementar na quarta linha.

Repare que o determinante não alterou em nenhum dos casos pois usamos a operação elementar, Agora é só multiplicar os elementos da diagonal.

Bem tranquilo, né?!

Eu recomendo usar sempre a operação elementar já que esta não altera o determinante. Em alguns casos, no entanto, usar apenas ela pode criar várias frações que podem complicar muito sua vida. Então quando usar as outras operações ou não fica a seu critério, só tome cuidado com as alterações no determinante 😉

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Então confere esse vídeo de exercício sobre cálculo de Determinantes por Escalonamento :

Vamos exercitar mais?

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