Determinantes por Escalonamento: Como Calcular?
Produzido por Bruno PestanaTeoria
Heeey! Bem vindo ao RespondeAí! Hoje você vai aprender de uma vez por todas a calcular um determinante por escalonamento!
Imagina que você tem que calcular o determinante de uma matriz bem grande, vamos supor uma matriz
E agora?! O que fazemos?!
Como calcular o determinante da matriz por escalonamento?
Sempre que a matriz for triangular (tanto superior quanto inferior), o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Isso naturalmente vale para uma matriz diagonal também ;)

Ah, então nem é tão difícil esse exemplo, a nossa matriz é triangular! Então o determinante é
Seria ótimo se pudéssemos sempre escalonar uma matriz para calcular os determinantes, não? Porque é bem fácil calculá-los em matrizes que já estão escalonadas. Lembre-se que para matrizes quadradas, uma matriz escalonada vira uma matriz triangular superior!
A boa notícia é que você pode fazer isso! 🤩
Escalonamento de Matrizes
Vamos aprender fazendo um exemplo! Se liga nessa matriz 4x4:

Para escalonar essa matriz vamos fazer algumas operações simples!
Só deve tomar cuidado com três coisas:
- Quando você troca linhas ou troca colunas de lugar, o sinal do determinante muda;
- Quando você multiplica uma linha por um escalar, o determinante também é multiplicado por esse escalar;
- Se você troca uma linha/coluna por um múltiplo de uma outra somado a essa linha/coluna, o determinante não se altera.
Esquematizando, seja a matriz
OBS: Cuidado com esta última operação!! Se você fizer
Vamos usar essas propriedades para calcular o seguinte determinante:
Usamos a operação elementar para alterar a segunda linha:

Agora a terceira:


E finalmente, a última linha:

Repare que o determinante não alterou em nenhum dos casos pois usamos a operação elementar,
Bem tranquilo, né?!
Eu recomendo usar sempre a operação elementar já que esta não altera o determinante. Em alguns casos, no entanto, usar apenas ela pode criar várias frações que podem complicar muito sua vida. Então quando usar as outras operações ou não fica a seu critério, só tome cuidado com as alterações no determinante 😉
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Então confere esse vídeo de exercício sobre cálculo de Determinantes por Escalonamento :
Vamos exercitar mais?