Teoria

E aí? Bem vindo ao Responde Aí! Vamos nessa aprender tudo sobre a Base de um espaço vetorial!

O que é a Base de um Espaço Vetorial?

A base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores linearmente independentes que definem um espaço vetorial.

-Hãam? 😖

Vamos ver um exemplo pra ficar mais claro!

O plano cartesiano é nada mais nada menos do que um espaço vetorial em duas dimensões! Para esse plano existir, a gente precisa de um vetor que aponte pra cima (o eixo y) e um vetor que aponte pro lado (o eixo x).

Ou seja, para definir o espaço eu poderia utilizar os vetores linearmente independentes e :

Plano cartesiano e os vetores
Plano cartesiano e os vetores

Viu, o conceito é tranquilo de entender! Agora vamos escrever uma base do conjunto , para isso a gente vai precisar de três vetores:

Cada um dos vetores de aponta para uma das três direções :

Base do
Base do

É muito importante que a base seja Linearmente Independente, por exemplo, observe os seguintes três vetores.

Nos vetores de a gente tem uma dependência linear, afinal se somarmos o primeiro e o segundo vetor, temos o terceiro vetor como resultado. Agora vamos desenhar esses vetores:

Vetores linearmente dependentes
Vetores linearmente dependentes

Opa, nenhum dos três vetores aponta pra cima! Ou seja, com esses três vetores a gente pode apontar para qualquer direção de ou de , mas é impossível apontar para cima ou para baixo. Então eles não formam uma base no .

Entendeu a importância dos vetores serem ?

Se liga nesse vídeo supercompleto que o Responde Aí preparou pra você sobre bases de um espaço vetorial! 👇

Continuando…um detalhe bastante importante é que um mesmo espaço vetorial pode ter várias bases! Afinal de contas, para formar uma base, a gente só precisa de um conjunto de vetores linearmente independentes, então todos os conjuntos abaixo são bases válidas do .

Pra que serve a base de um espaço vetorial?

A ideia por trás de uma base é que: aplicando operações nos vetores da base, nós podemos gerar qualquer outro vetor do espaço vetorial. Por exemplo, pense num vetor de duas dimensões aleatório! Eu vou escolher o vetor . A gente pode escrever esse vetor aplicando somas e multiplicações em uma base de . Pra exemplificar, vou usar a base :

Bases canônicas

No exemplo acima pode ficar um pouco difícil de enxergar como encontramos os valores que multiplicam os vetores da base. Pra facilitar esse trabalho, a gente costuma utilizar as bases de espaço vetorial canônicas: Essas são bases compostas apenas por ’s e ’s. Por exemplo:

Assim, quando a gente quiser escrever um vetor qualquer, fica fácil de saber como ele é gerado pela base canônica. Por exemplo, o vetor é simplesmente:

Base de um espaço matricial

O mais interessante de álgebra é que a gente consegue extrapolar esse conceito de bases, para além de vetores, e falar sobre por exemplo, a base canônica de matrizes . A base para :

Outra base para matrizes é:

Agora vamos praticar com exercícios?

Pra que serve a base de um espaço vetorial?

Bases canônicas

Base de um espaço matricial

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