Coordenadas do Vetor em Relação à Base
Teoria
Bem vindo ao RespondeAí! Seu guia mais completo de matérias de exatas! E hoje a gente vai conversar sobre Coordenadas do Vetor em Relação à Base!
Você sabia que podemos escrever um vetor usando diferentes bases?!
-Mas como assim?
Pra ficar mais claro, vamos ver um exemplo! Considere o seguinte vetor:
Podemos escrever esse vetor usando a base
Mas, como encontrar as coordenadas de um vetor em relação a base
Antes de qualquer coisa, vale reparar que tanto o vetor, quanto a base
Agora escrevemos o vetor usando uma combinação linear dos vetores da base:
Então ficamos com:
Só achamos uma solução para cada coeficiente na resolução do sistema! Por isso, podemos ver que há apenas uma única escolha de coeficientes de uma base, que geram um único vetor!
Agora, substituímos os coeficientes descobertos acima:
E prontinho!
Teorema
Se
é a única. Ou seja, os coeficientes
Obs.: Uma coisa interessante que de vez em quando aparece em provas é a igualdade de vetores em bases diferentes! Nós temos o seguinte:
- O mesmo vetor pode ter representações iguais ou diferentes em bases diferentes.
- Dois vetores distintos podem ter a mesma representação em bases distintas. Assim como podem não ter :p
- Dois vetores distintos nunca terão a mesma representação numa mesma base!
Agora que já vimos isso, vamos aprender a escrever um vetor nas coordenadas de uma base!
Escrevendo um Vetor nas Coordenadas de uma Base
Seja
Notação:
Basicamente, a partir dessa notação, o vetor
Ou seja:
Obs: Veja que é por isso que as bases são conjuntos ordenados.
Exemplo:
Vamos voltar no exemplo anterior, as coordenadas de
Se definirmos uma outra base com os mesmos vetores, porém com a ordem trocada:
As coordenadas de
Base canônica:
Agora se escolhermos essa base canônica aqui:
Então:
Podemos ver que os coeficientes dessa base são EXATAMENTE as coordenadas do nosso vetor! A mesma coisa ocorreu com o nosso primeiro exemplo, mas dessa vez não precisamos efetuar contas! 😉
Mas afinal, o que é uma base canônica?!
Chamamos a base
Quando um espaço vetorial é formado por uma base canônica, os coeficientes nessa base são as próprias coordenadas do elemento. Isso acontece com vetores, matrizes e polinômios. Sempre quando for essa base, você consegue calcular de forma rápida e de cabeça sem efetuar contas!
Normalmente denotamos essas bases com a letra grega épsilon
Do
Do conjunto
Dos polinômios de
Obs.: Se temos um vetor escrito em alguma base dada, podemos achar o vetor escrito na base canônica apenas aplicando ele à base!
Exemplo:
Considere o seguinte vetor na base
Escrevendo a combinação linear:
Simples assim!
Outro fato importante é quando escrevemos um vetor já pertencente à base nas coordenadas dessa base. Se liga na base:
Se tentarmos escrever o vetor
Observe que a primeira coordenada deu
Desse modo, se temos uma base
Então:
Ficou com alguma dúvida? Confere então esse conteúdo em vídeo que eu separei pra você! 👇
Agora, vamos pros exercícios para tudo ficar bem “dimensionado” na sua mente, hehe!
Teorema
Escrevendo um Vetor nas Coordenadas de uma Base
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 97 – Ex. 69 (Adaptado)
No espaço vetorial de , consideraremos a seguinte base . Determinar as coordenadas de em relação à base se:
Passo 1
Letra a)
Vamos fazer a com os vetores da base:
Letra b)
Letra c)
Como é o terceiro vetor da base, então suas coordenadas na base serão:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 95 – Ex. 58
O conjunto é uma base do . Escreva o vetor genérico do como combinação linear de .
Passo 1
Caramba! O que ele quis dizer com o vetor genérico do ??? É um vetor genérico de duas coordenadas, ué. Sendo assim, seria o vetor . Agora que já sabemos quem é nosso vetor, é só montar a nossa combinação linear.
Pô mas esses resultados deram em função de ! Era de se esperar que isso acontecesse! É só pensar que seriam coordenadas de um vetor qualquer. E num vetor qualquer teríamos que achar em função de suas coordenadas, não é mesmo?
Assim, as coordenadas do vetores genérico são:
Resposta
Exercício Resolvido #3
Lista 2 para a p1, bases e coordenadas, questão 2, 2015.2, PUC-rio.
- Existe alguma base de tal que, ?
- É possível encontrar uma segunda base também satisfazendo ?
Passo 1
Letra a)
Bom, vamos definir uma base para o , sendo . Sabendo que o vetor está escrito nas coordenadas da base , então:
Com isso, podemos perceber que o vetor será sempre o segundo vetor da base que escolhermos, QUALQUER QUE SEJA o primeiro vetor da base, pois ele sempre multiplica o .
Assim, uma possível base é:
Só não podemos esquecer que é uma base! Então não pode ser múltiplo de , nem ser o vetor nulo, ou seja, não pode ser múltiplo de e nem ser !
Passo 2
Letra b)
Sabendo como se resolve a letra , fica fácil a letra ! Nós vimos que como o multiplica o primeiro vetor da base que escolhemos, podemos pegar qualquer valor para o primeiro vetor dessa base, que ainda vamos satisfazer a condição dada. Observe que ele deu apenas uma condição.
Portanto um outra base é:
Resposta
Exercício Resolvido #4
Lista 2 para a p1, bases e coordenadas, questão 1, 2015.2, PUC-rio.
Seja uma base do . Mostre que se são tais que
então é uma base de .
Passo 1
Para começar vamos separar nosso problema em hipótese e tese:
Hipóteses: é uma base do e .
Tese: é uma base de .
Passo 2
Se é uma base de é a nossa tese, então o que queremos saber é se é e que . Vamos provar primeiro que eles são , pois a segunda parte da nossa tese é uma consequência da primeira.
Para começar, vamos ajeitar a nossa hipótese:
Passo 3
Agora vamos equacionar a nossa tese; mais especificamente, se é :
Por hipótese, sabemos quem é em função de . Assim, ao aplicarmos nossa hipótese:
Passo 4
Como sabemos que o conjunto é uma base, ele é também, por definição. Assim, podemos igualar seus coeficientes a zero na equação acima:
Assim, podemos ver que:
Portanto, nosso conjunto é também.
Passo 5
Agora falta provar que . Entretanto, como é uma base do , sabemos que . E como pode ser escrito como uma de , eles também pertencem ao . Assim, podemos concluir que é um conjunto de vetores de 3 coordenadas, pertencem ao , e ; portanto, .
Observe que não basta falar que os vetores são simplesmente , porque não sabemos em que espaço se situam () Como os vetores são genéricos, não sabemos quantas coordenadas possuem, então poderiam ser 3 vetores do , que não gera o .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
Exercício Resolvido #5
UFRJ-P2-2013.1
Seja um espaço vetorial e e duas bases distintas de .
Sejam e dois vetores distintos de .
Denotamos as coordenadas de em relação à base por .
Podemos sempre afirmar que:
Passo 1
Será que a é verdade?
Vou te mostrar um contraexemplo e você vai ver que não.
Por exemplo, olha o vetor escrito na base canônica :
O mesmo vetor escrito na base fica:
Afinal:
Então o mesmo vetor escrito nas duas bases tem os coeficientes .
Então não podemos afirmar que um vetor é diferente só porque está escrito em bases diferentes.
Passo 2
Essa é bem tranquila. Um vetor numa base sempre pode ser escrito como um vetor em outra base.
Olha só:
O vetor escrito na base canônica é , assim como o vetor escrito na base canônica é .
Mas se escrevemos o na base , temos .
Ou seja, o vetor tem coeficientes na base .
Então , e a é falsa.
Passo 3
A letra diz que dois vetores não podem ser escritos do mesmo jeito se estiverem na mesma base. E é verdade!
Afinal, se temos uma base , por exemplo, só existe um vetor que seja igual a:
Esse vetor é o escrito na base .
Nem teria sentido falar em se existisse mais de um vetor que pudesse ser escrito assim.
Esse vetor é único.
Passo 4
Pô, a é quase cópia da .
Eu inclusive vou usar o mesmo exemplo, só trocando quem é e quem é .
O vetor escrito na base canônica é , assim como o vetor escrito na base canônica é .
Mas se escrevemos o na base , temos .
Ou seja, o vetor tem coeficientes na base .
Então (logo a é falsa).
Resposta
Letra