Matriz de Mudança de Base
Teoria
Algumas vezes a gente pode se deparar com problemas em que vai ser interessante mudar a base do nosso vetor! Nesses casos a gente vai usar a matriz mudança de base! Bora aprender como isso vai funcionar?
O que é a Matriz Mudança de Base?
Imagina que você tem o elemento
É aqui que entra a Matriz Mudança de Base
Essa fórmula ali de cima tá dizendo que, pra achar o vetor
Ahh, um detalhe…a matriz mudança de base é uma transformação identidade indo de uma base
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Como Calcular a Matriz Mudança de Base?
Agora é hora de colocar a mão na massa! Vamos calcular uma matriz mudança de base de
Passo 1: Escrever os Elementos de
Vai ficar assim:
Essa galera
Passo 2: Calcular os Sistemas Lineares para Achar a Matriz Mudança de Base
Vamos pegar a primeira linha de equações acima e montar um sistema linear. Ficamos com:
Fazendo a mesma coisa com a segunda e a terceira linha, podemos montar a matriz mudança de base:
Passo 3: Calcular o vetor
Pra isso a gente vai usar a fórmula:
Substituindo, temos:
Matrizes Semelhantes
Vamos começar com a definição formal de matrizes semelhantes:
Beleza, mas porque isso é interessante?
Além de podermos mudar a base de vetores pela matriz de mudança de base, e fazer o contrário apenas invertendo a matriz. Existe um outro método prático para mudar
Podemos chamar
A matriz à direita pegaria um vetor na base
Para lembrar da fórmula é só seguir as setinhas das bases da direita para a esquerda. Ela vai de
Matrizes Semelhantes
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Matrizes que representam TL’s
Sejam bases do espaço vetorial , e sejam
matrizes de mudança de base. Então:
Passo 1
A única coisa que sabemos, que pode nos ajudar, é que a inversa de uma matriz de mudança de base muda a “ordem” das bases. Sendo assim, vamos analisar as bases e os produtos para ver qual equação está correta.
Passo 2
Não dá para “juntar” as matrizes, então não pode ser essa. Com isso eliminamos a letra também.
Passo 3
- ''
Resposta
Letra
Exercício Resolvido #2
Matrizes que representam TL’s
Seja o espaço euclidiano dos polinômios e considere a base Se é uma base tal que a matriz de mudança de base de para
então a base é:
Passo 1
Sabendo como se monta a matriz de mudança de base, podemos descobrir quem é a base . Digamos que a base seja assim:
Até agora podemos afirmar que
E que
Passo 2
Mas e agora, como vamos achar quem são e ??? Como se trata da transformação identidade podemos afirmar que:
E com isso temos um sistema linear de duas equações e duas variáveis:
De temos que:
Substituindo em :
Com isso, podemos encontrar :
Assim, nossa base fica:
Resposta
Letra
Exercício Resolvido #3
Matriz de mudança de Base
À questão “Seja a transformação linear definida por e . Encontre a matriz de associada a base canônica de ”, Joãozinho respondeu:
A resposta do Joãozinho está errada pois deveria dar . Indique qual foi o erro que Joãozinho cometeu e explique a sua afirmação.
OBS: Este item não pede a resposta certa, pede para explicar ao Joãozinho o seu erro.
Passo 1
Embora as matrizes e estivessem corretas, Joãozinho trocou de lugar as matrizes e .
Lembre-se da fórmula!
O que Joãozinho fez foi:
Quando, pela fórmula, o que ele devia ter feito era:
Ou ainda:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)