Algumas vezes a gente pode se deparar com problemas em que vai ser interessante mudar a base do nosso vetor! Nesses casos a gente vai usar a matriz mudança de base! Bora aprender como isso vai funcionar?
O que é a Matriz Mudança de Base?
Imagina que você tem o elemento e ele esta escrito na base, mas você quer passar ele para a base . Como você faria isso!?
É aqui que entra a Matriz Mudança de Base , dessa forma podemos fazer:
Mudança de base
Essa fórmula ali de cima tá dizendo que, pra achar o vetor na base tudo o que você precisa fazer é multiplicar a matriz mudança de base, representada por , pelo vetor na base beta!
Ahh, um detalhe…a matriz mudança de base é uma transformação identidade indo de uma base para uma base , por isso aquele ali em cima. O que faz muito sentido, porque a transformação identidade não altera o vetor e é exatamente isso que queremos! O nosso vetor vai ser o mesmo, mas com uma base diferente!
Agora é hora de colocar a mão na massa! Vamos calcular uma matriz mudança de base de para e depois vamos aplicar ela pra mudar a base do vetor !
Passo 1: Escrever os Elementos de como uma Combinação Linear dos Elementos de
Vai ficar assim:
Combinação linear
Essa galera de verdinho são os elementos da nossa matriz mudança de base!
Passo 2: Calcular os Sistemas Lineares para Achar a Matriz Mudança de Base
Vamos pegar a primeira linha de equações acima e montar um sistema linear. Ficamos com:
Fazendo a mesma coisa com a segunda e a terceira linha, podemos montar a matriz mudança de base:
Passo 3: Calcular o vetor na base
Pra isso a gente vai usar a fórmula:
Substituindo, temos:
Matrizes Semelhantes
Vamos começar com a definição formal de matrizes semelhantes:
Matrizes semelhantes
Beleza, mas porque isso é interessante?
Além de podermos mudar a base de vetores pela matriz de mudança de base, e fazer o contrário apenas invertendo a matriz. Existe um outro método prático para mudar para, por exemplo, uma outra , sem ter que ter todo aquele trabalho de sempre!
Podemos chamar , , . Assim, nossa semelhança de matrizes fica assim:
A matriz à direita pegaria um vetor na base e trocaria a base dele para . A matriz do meio aplicaria a transformação no vetor, mantendo ele na base . E a matriz à esquerda trocaria a base dele de para !
Para lembrar da fórmula é só seguir as setinhas das bases da direita para a esquerda. Ela vai de para , depois de para , e depois de para . No final das contas ela simplesmente vai de para .