Matrizes que Representam TL: Aplicação
Teoria
Bom, vamos lá! Nós já vimos que toda transformação linear é uma matriz, certo?! E é possível encontrar essa matriz... Beleza! Mas qual a utilidade e a aplicação dessas matrizes?
Vamos pensar na seguinte analogia para nos ajudar a entender melhor a ideia:
Se eu te disser que existe um animal que mia e toma leite, você pode associar essas características a um animal que seria um gatinho (ideia), certo?
Nós podemos expressar através de palavras essa ideia (animal que mia e toma leite) de várias formas diferentes de acordo com cada idioma, concorda? Por exemplo,
Ou seja, nós podemos representar a nossa ideia em vários idiomas diferentes e para cada idioma teremos uma palavra diferente, mas no fundo a ideia é a mesma!! Só estamos usando a palavra de acordo com o idioma.
Voltando pro nosso mundo da matemática, cada base (idioma) terá uma coordenada (palavra) diferente para expressar o vetor (ideia). Show de bola?!
Então vamos ver como isso funciona na prática e com as continhas?!
Um dos exemplos que fizemos para encontrar a matriz que representa essa foi esse aí embaixo:
Usando como como base do domínio e como base do contra domínio:
A matriz encontrada foi:
Uma coisa interessante que podemos reparar é que essa matriz leva um vetor nas coordenadas da base (domínio) no vetor nas coordenadas da base (contradomínio).
Por exemplo, sendo , temos:
Beleza, agora vamos escrever o nosso vetor na base do nosso domínio. O que isso quer dizer?! Queremos encontrar os valores de e que satisfaça a relação abaixo:
Se você reparar, os vetores da combinação linear são os vetores do nosso domínio. Assim, resolvendo o sisteminha linear ficamos com:
Ou seja, as coordenadas do vetor escrito na base é :
E aplicando ele na matriz:
Obtemos o vetor , que é exatamente o resultado de na base ! Rs
Para entendermos melhor, vamos fazer as continhas na base para visualizarmos que teremos o mesmo resultado:
Escrevendo o vetor como combinação linear dos vetores da base , teremos
Que é o mesmo valor que encontramos na base . Viu só! Estávamos querendo expressar a mesma ideia (vetor) só que em bases diferentes!
Sendo assim, podemos interpretar que leva o vetor em , enquanto a matriz
leva as coordenadas de na base para as coordenadas de na base .
Se chamarmos:
e
Podemos esquematizar a relação matricial acima como:
E isso nos leva a um teorema:
Assim, chamamos a matriz de matriz de representação de , nas bases e .
Vamos fazer mais um exemplo?
Exemplo 2: Seja
Encontre a matriz da Transformação Linear usando como base do domínio e como base do contra domínio:
Vamos escrever os elementos da base como combinação linear dos elementos de :
Agora escrevendo esses vetores como combinação linear dos vetores da base temos
Então, a nossa matriz será
Assim, dependendo do vetor que formos utilizar, representaremos ele de formas diferentes dependendo da base! É só ter na cabeça que no final a ideia (o vetor) é a mesma só que representada em bases (idiomas) diferentes, rs!
Beleza?! Vamos praticar então?!
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Lista 2 de monitoria para a p2, Álgebra Linear I, exercícios 1-c),d),e),f), 2015.1, PUC-rio, Adaptado.
Sabendo que:
E que foi gerada a partir de:
E que:
Calcule
Calcule
Compare os dois resultados.
Passo 1
Primeiramente, vamos calcular a matriz que representa na base :
Pelo enunciado sabemos que:
Escrevendo cada um dos vetores nas coordenadas da base :
Repare que não tivemos trabalho algum para construir a matriz desta vez. Tudo depende da base que você escolhe para fazer a matriz!
Passo 2
Assim concluímos que:
E a matriz que representa na base fica assim:
Passo 3
Agora falta escrever nas coordenadas da base . Com uma simples conta, vemos que:
Portanto:
Passo 4
Multiplicando as matrizes temos:
Passo 5
Para calcular a imagem de , vamos usar a fórmula dada:
Agora, não tem jeito! Temos que montar um sistema para calcular suas coordenadas na base
Passo 6
Os resultados deram iguais devido ao teorema abaixo:
Resposta
São iguais
Exercício Resolvido #2
Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 216. – 30
Seja
a matriz canônica de uma transformação linear Se , calcular .
Passo 1
Como tudo está na base canônica não precisamos nos preocupar com mudanças de base. Então, temos que:
Onde
Passo 2
Calculando o produto temos:
De :
Substituindo em :
Calma que não terminou ainda não, temos que substituir em pra ver se as equações são incompatíveis. Lembre que é possível que não exista solução ;)
Os resultados foram iguais, então encontramos nosso vetor :
Resposta
Exercício Resolvido #3
Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 217. – 31
Seja uma transformação linear com matriz
Para , base canônica do , e , base do . Qual a imagem do vetor pela ?
Passo 1
Pelo nosso teorema, temos:
Ou seja, nossa matriz pega um vetor do na base canônica, e leva ele em na base dada. O que o exercício pede é na base canônica do !
Passo 2
Vamos encontrar quem é :
Passo 3
Agora temos que passar ele para a base canônica. Para isso é só aplicarmos o vetor em sua base:
Logo,
Resposta
Exercício Resolvido #4
Matrizes que Representam TL’s
Sejam uma transformação linear, uma base de e uma base de . Suponha que:
Supondo que e que seja a base canônica de , encontre .
Passo 1
Como não possuímos a expressão da e apenas a sua matriz, vamos utilizá-la. Entretanto, antes precisamos escrever o polinômio nas coordenadas da base indicada:
Podemos perceber que para gerar o polinômio basta fazer e que para gerar o polinômio , basta multiplicar o polinômio da base por , e assim as coordenadas ficam:
Passo 2
Mas agora como vamos achar ??? Basta usar a relação:
Agora basta achar :
Resposta