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TL Composta

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Teoria

Introdução

Lembra no Ensino Médio que nós podíamos fazer composição de funções? Tipo botar uma dentro da outra e criar uma nova?

Por exemplo, Imagine que a f ( x ) = x ²     e     g ( x ) = x + 3 , então:

( g ∘ f ) ( x ) = g ( f ( x ) )

( g ∘ f ) ( x ) = g ( x ² )

( g ∘ f ) ( x ) = x ² + 3

Lembrou?

Então, como transformações lineares também são funções, podemos fazer composições delas com outras transformações!

Portanto, a definição acima também se aplica a transformações lineares.

Mas aí surge uma questão importante...

Será que se compormos duas T L ' s , a composta gerada a partir das duas ainda é linear?

A resposta é sim! Temos até um teorema para isso haha.

Antes de mais nada é importante lembrar que uma transformação ser linear significa que ela é um tipo particular de função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar, beleza?!

Bom, a primeira coisa que você tem que reparar é que o contradomínio da T L que vai ficar dentro tem que ser igual ao domínio de fora! Perceba:

Se você tem T : U → V e S : V → W . A T L composta deve ser S T u . A transformação T levará o vetor u ∈ U em um vetor v ∈ V . A transformação S , por sua vez pegará esse vetor v ∈ V e levará em um vetor w ∈ W . É desse jeito que teremos a S ∘ T :

Se o contradomínio de T fosse diferente do domínio de S ia dar ruim, sacou?

Tá beleza, mas como faço isso na prática? Vamos pegar, por exemplo, essas transformações abaixo:

T : R 2 ⟶ R 3

T x , y = ( 2 y , x + y , x - y )

S : R 3 ⟶ R 2

S x , y , z = ( x + y + z ,   2 y - x )

Como o contradomínio de   T é igual ao domínio de S , podemos compor as duas aplicando o resultado da transformação T em S :

S T x , y = S 2 y , x + y , x - y = ( 2 y + x + y + x - y , 2 x + y - 2 y )

Com isso, fazendo as contas, podemos ver que:

S ∘ T : R 2 ⟶ R 2

( S ∘ T ) x , y = ( 2 y + 2 x , 2 x )

E assim temos a nossa expressão da transformação composta.

Acontece que temos outro jeito de achar a TL composta, a partir das matrizes que representam as transformações.

Matriz que Representa uma TL Composta

Vamos supor que agora o enunciado do problema, ao invés de nos dar essas duas transformações com suas expressões analíticas, nos dá as matrizes que as representam.

T x , y = 0 2 1 1 1 - 1 x y

S x , y , z = 1 1 1 - 1 2 0 x y z

E agora, vamos ter que achar as expressões e fazer o mesmo processo de antes?

Não!! Quer dizer, se você quiser, vá em frente que vai dar certo, maaaas, temos um jeito muito mais simples de achar a TL Composta. É só multiplicarmos as 2 matrizes! Mas cuidado, a ordem da multiplicação é muito importante.

Se quisermos fazer S ∘ T a matriz que representa a transformação será ST. Isso acontece porque essa multiplicação de matrizes fica assim:

S ∘ T x , y = 1 1 1 - 1 2 0 0 2 1 1 1 - 1 x y

Reparem que o vetor x , y   está sendo aplicado primeiro na matriz da transformação   T e o resultado disso será aplicado na matriz S . Isso é exatamente o que fizemos quando usamos as expressões analíticas e por isso a ordem da multiplicação não pode ser alterada.

Então, multiplicando S e T , a matriz   S ∘ T será:

S ∘ T x , y = 1 1 1 - 1 2 0 0 2 1 1 1 - 1 x y

S ∘ T x , y = 2 2 2 0 x y

Se você pegar a expressão que achamos lá em cima e achar a matriz da TL vai ver que deu a mesma coisa!

Viu? Agora basta saber as matrizes de cada uma das transformações. Assim, a fórmula dessa composição aplicada nas coordenadas de um vetor, ficaria:

T ∘ S u ξ = T ∘ S ξ ← β ∙ u β ⇒

T ∘ S u ξ = T ξ ← γ ∙ S γ ← β ∙ u β

Sendo β a base do domínio e ξ a base do contradomínio.

Show de bola?! Vamos praticar?

Matriz que Representa uma TL Composta

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 221. – 42

Sejam S e T operadores lineares de R 2 definidos por S x , y = x - 2 y , y e T x , y = 2 x , - y . Determinar:

(a)   S + T

(b)   T - S

(c)   2 S + 4 T

(d)   S ∘ T

(e)   T ∘ S

(f)   S ∘ S

Passo 1

Essa questão é simplesmente jogar uma dentro da outra ou fazer operações com elas, então vou direto ao ponto ok?

Passo 2

a

S + T = S x , y + T x , y = x - 2 y , y + 2 x , - y = 3 x - 2 y , 0

Passo 3

b

T - S = T x , y - S x , y = 2 x , - y - x - 2 y , y = x + 2 y , - 2 y

Passo 4

c

2 S + 4 T = 2 S x , y + 4 T x , y = 2 x - 2 y , y + 4 2 x , - y =

= 2 x - 4 y , 2 y + 8 x , - 4 y = 10 x - 4 y , - 2 y

Passo 5

d

S ∘ T = S T x , y = S 2 x , - y = 2 x - 2 - y , - y = 2 x + 2 y , - y

Passo 6

e

T ∘ S = T S x , y = T x - 2 y , y = 2 x - 2 y , - y = 2 x - 4 y , - y

Passo 7

f

S ∘ S = S S x , y = S x - 2 y , y = x - 2 y - 2 y , y = x - 4 y , y

Resposta

a   3 x - 2 y , 0

b   x + 2 y , - 2 y

c   10 x - 4 y , - 2 y

d   2 x + 2 y , - y

e   2 x - 4 y , - y

f   x - 4 y , y

Exercício Resolvido #2

Lista 1 de Álgebra Linear I para a p2, exercício 12-b), 2015.1, PUC-RIO, Adaptado.

Sabendo que:

T 1 - x = 1 0 0 - 1

T 1 + x = 1 0 0 1

T x 2 = - 1 1 - 1 2

S : R 3 ⟶ P 2

S w , y , z = w + y + 2 w x + z + y x 2

a   Calcule T ( a + b x + c x 2 )

b   Calcule T ∘ S

Passo 1

a   Caramba, polinômios, vetores e matrizes juntos!! E agora???!!

Relaxa, é só seguir os mesmos passos, só que com vetores, e lembrando como se trabalha com polinômios.

Primeira coisa a fazer é a nossa boa e velha combinação linear de uma base do nosso domínio. Como T : P 2 → M 2 × 2 , uma base para ele seria:

β = { 1 - x , 1 + x , x 2 }

Então, podemos fazer uma C L desses elementos para gerar nosso elemento genérico, que é a + b x + c x 2 :

a + b x + c x 2 = α 1 1 - x + α 2 1 + x + α 3 x 2

Passo 2

Agora vamos aplicar T dos dois lados:

T a + b x + c x 2 = T ( α 1 1 - x + α 2 1 + x + α 3 x 2 )

Como T é linear, podemos abrir a expressão do nosso lado direito da equação:

T a + b x + c x 2 = α 1 T 1 - x + α 2 T 1 + x + α 3 T ( x 2 )

E aplicando as informações do enunciado:

T a + b x + c x 2 = α 1 1 0 0 - 1 + α 2 1 0 0 1 + α 3 - 1 1 - 1 2       ( I )

Passo 3

Po, mas ainda tem esses α 1 ,   α 2 ,   α 3 atrapalhando a gente. Lembra que se fossem vetores, você tinha que botar esses coeficientes em função de x , y , z (se fosse do R 3 ), porém agora são polinômios, então você tem que botar esses α 1 ,   α 2 ,   α 3 , em função de a , b , c como se fossem x , y , z .

a + b x + c x 2 = α 1 1 - x + α 2 1 + x + α 3 x 2 ⇒

a + b x + c x 2 = α 1 - α 1 x + α 2 + α 2 x + α 3 x 2 ⇒

a + b x + c x 2 = α 1 + α 2 + α 2 - α 1 x + α 3 x 2 ⇒

α 1 + α 2 = a ⇒ α 1 + b + α 1 = a ⇒ 2 α 1 = a - b ⇒ α 1 = a - b 2 α 2 - α 1 = b ⇒ α 2 = b + α 1 ⇒ α 2 = b + a - b 2 ⇒ α 2 = a + b 2 α 3 = c

Passo 4

Após achar os coeficientes α 1 ,   α 2 ,   α 3 , vamos substituir na nossa equação ( I ) :

T a + b x + c x 2 = a - b 2 1 0 0 - 1 + a + b 2 1 0 0 1 + c - 1 1 - 1 2

Fazendo as contas veremos que:

T a + b x + c x 2 = a - b 2 0 0 b - a 2 + a + b 2 0 0 a + b 2 + - c c - c 2 c

T a + b x + c x 2 = a - c c - c b + 2 c

Passo 5

b   Agora que já achamos T , basta compormos ela com S .

Como: S w , y , z = w + y + 2 w x + z + y x 2

Então:

T ∘ S w , y , z = T w + y ⏟ a + 2 w ⏟ b x + z + y ⏟ c x 2

Vamos substituir direitinho termo a termo segundo a fórmula da transformação T que acabamos de achar:

T ∘ S w , y , z = w + y ⏟ a - ( z + y ) ⏟ c z + y ⏟ c - ( z + y ) ⏟ c 2 w ⏟ b + 2 ( z + y ) ⏟ c ⇒

T ∘ S w , y , z = w - z z + y - z - y 2 ( w + z + y )

Resposta

a   T a + b x + c x 2 = a - c c - c b + 2 c

b   T ∘ S w , y , z = w - z z + y - z - y 2 ( w + z + y )

Exercício Resolvido #3

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 221. – 43

Seja a transformação linear:

S : R 3 → R 4 ,   S x , y , z = x + y , z , x - y , y + z

a   Calcular S ∘ T x , y se:

T : R 2 → R 3

x , y → 2 x + y , x - y , x - 3 y

b Determinar a matriz canônica de S ∘ T e mostrar que ela é o produto da matriz canônica S pela matriz canônica T .

Passo 1

a Calculando S ∘ T x , y :

S ∘ T x , y = S T x , y = S 2 x + y , x - y , x - 3 y =

= 2 x + y + x - y , x - 3 y , 2 x + y - x - y ,   x - y + x - 3 y =

= 3 x , x - 3 y , x + 2 y , 2 x - 4 y

Logo:

S ∘ T x , y = 3 x , x - 3 y , x + 2 y , 2 x - 4 y

Passo 2

b Passando S ∘ T x , y para a forma matricial:

S ∘ T x , y = 3 x x - 3 y x + 2 y 2 x - 4 y = 3 0 1 - 3 1 2 2 - 4 x y

Logo:

S ∘ T = 3 0 1 - 3 1 2 2 - 4

Passo 3

Agora passando T para a forma matricial:

T x , y = 2 x + y x - y x - 3 y = 2 1 1 - 1 1 - 3 x y

Então:

T = 2 1 1 - 1 1 - 3

Passo 4

Agora S :

S x , y = x + y z x - y y + z = 1 1 0 0 0 1 1 - 1 0 0 1 1 x y z

Portanto:

S = 1 1 0 0 0 1 1 - 1 0 0 1 1

Passo 5

Finalmente, temos que:

S ∙ T = 1 1 0 0 0 1 1 - 1 0 0 1 1 × 2 1 1 - 1 1 - 3 = 3 0 1 - 3 1 2 2 - 4 = S ∘ T

E fim de papo.

Resposta

a   S ∘ T x , y = 3 x , x - 3 y , x + 2 y , 2 x - 4 y

b   S ∘ T = 3 0 1 - 3 1 2 2 - 4  

Exercício Resolvido #4

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 221. – 44

As transformações S : R 2 → R 3 e T : R 3 → R 2 são tais que S x , y = y , x - y , 2 x + 2 y e T x , y , z = ( x , y ) .

a Sendo B = 1,0 , - 1 , 1,1 , 1 , 1,0 , 0 uma base do R 3 , determinar a matriz S ∘ T B .

b   Determinar T ∘ S B '   e   T ∘ S B ' ' sendo B ' = 1,1 , 0 , - 1 e B ' ' a base canônica.

Passo 1

a O enunciado já definiu uma base para o R 3 , mas não para o R 2 , então vamos usar a base canônica:

A = 1,0 , 0,1

Como queremos S ∘ T B , precisamos achar as matrizes que representam T e S .

Passo 2

Começando por T , aplicamos a transformação aos vetores da base B do domínio R 3 :

T 1,0 , - 1 = ( 1,0 )

T 1,1 , 1 = ( 1,1 )

T 1,0 , 0 = ( 1,0 )

Como estamos usando a base canônica no contra domínio de T , basta jogarmos esses vetores como colunas de uma matriz:

T A ← B = 1 1 1 0 1 0

Passo 3

Agora para S , aplicamos a transformação na base A do domínio R 2 :

S 1,0 = ( 0,1 , 2 )

S 0,1 = ( 1 , - 1,2 )

Passamos esses vetores para a base B do contra domínio R 3 :

0,1 , 2 = a 1,0 , - 1 + b 1,1 , 1 + c 1,0 , 0

a + b + c = 0 ⇒ c = 0 b = 1 - a + b = 2 ⇒ a = - 1

1 , - 1,2 = a 1,0 , - 1 + b 1,1 , 1 + c 1,0 , 0

a + b + c = 1 ⇒ c = 5 b = - 1 - a + b = 2 ⇒ a = - 3

Logo:

0,1 , 2 B = - 1,1 , 0

1 , - 1,2 B = - 3 , - 1,5

Jogando esses vetores como colunas de uma matriz, temos que:

S B ← A = - 1 - 3 1 - 1 0 5

Passo 4

Por fim,

S ∘ T B = S B ← A × T A ← B = - 1 - 3 1 - 1 0 5 × 1 1 1 0 1 0 = - 1 - 4 - 1 1 0 1 0 5 0

Passo 5

b Vamos começar por T ∘ S B ' Dessa vez a base do R 2 foi dada:

B ' = 1,1 , 0 , - 1

Portanto, tomamos como base do R 3 a canônica:

A = 1,0 , 0 , 0,1 , 0 , 0,0 , 1

Passo 6

Primeiro S . Aplicamos a transformação nos vetores da base B ' do domínio R 3 :

S 1,1 = 1,0 , 4

S 0 , - 1 = - 1,1 , - 2

Como estamos usando a base canônica no contra domínio de S , basta jogarmos esses vetores como colunas de uma matriz:

S A ← B ' = 1 - 1 0 1 4 - 2

Passo 7

Agora T . Aplicamos a transformação na base A do domínio R 3 :

T 1,0 , 0 = 1,0

T 0,1 , 0 = 0,1

T 0,0 , 1 = 0,0

Passamos esses vetores para a base B ' do contra domínio R 2 :

1,0 = 1 1,1 + 1 0 , - 1

0,1 = 0 1,1 - 1 0 , - 1

0,0 = 0 1,1 + 0 0 , - 1

Logo:

1,0 B ' = 1,1  

0,1 B ' = 0 , - 1

0,0 B ' = 0,0

Jogando esses vetores como colunas de uma matriz, temos que:

T B ' ← A = 1 0 0 1 - 1 0

Passo 8

Finalmente,

T ∘ S B ' = T B ' ← A × S A ← B ' = 1 0 0 1 - 1 0 × 1 - 1 0 1 4 - 2 = 1 - 1 1 - 2

Passo 9

Força que tá acabando gente! Agora vamos achar T ∘ S B ' ' com a base do R 2 canônica:

B ' ' = 1,0 , 0,1

Novamente, tomamos como base do R 3 a canônica:

A = 1,0 , 0 , 0,1 , 0 , 0,0 , 1

Passo 10

Primeiro S . Como as bases do domínio e do contra domínio são as canônicas, temos:

S x , y = y x - y 2 x + 2 y = 0 1 1 - 1 2 2 x y

Portanto,

S A ← B ' ' = 0 1 1 - 1 2 2

Passo 11

Agora T . Novamente, as bases do domínio e do contra domínio são as canônicas, então:

T x , y , z = x y = 1 0 0 0 1 0 x y z

Logo:

T B ' ' ← A = 1 0 0 0 1 0

Passo 12

Pra terminar,

T ∘ S B ' ' = T B ' ' ← A × S A ← B ' ' = 1 0 0 0 1 0 × 0 1 1 - 1 2 2 = 0 1 1 - 1

Resposta

a   - 1 - 4 - 1 1 0 1 0 5 0

b T ∘ S B ' = 1 - 1 1 - 2

T ∘ S B ' ' = 0 1 1 - 1

Exercícios de Livros Relacionados

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