Teoria
Vamos dar uma relembrada nas TL’s Compostas:
Vamos pegar, por exemplo, essas transformações abaixo:
Agora vamos compor com .
Com isso, podemos ver que:
Pera então, essa transformação linear composta aí, você pega um vetor no e “cospe” o mesmo vetor no ! Sim, então essa é a transformação que não faz nada.
Mas pra que esse negócio serve?!
Te falar, isso é tão importante que recebe até um nome especial! Olha ai haha
Quando acontece isso, Dizemos que é a Transformação Identidade. Não confunda essa transformação com aquela matriz cheia de ’s e ’s! Estamos usando agora uma transformação linear, e não uma matriz.
E agora que vem a importância dela. Se essa composta aí é a Transformação Identidade, então é a inversa de : ! É só lembrar o conceito de função inversa!
Como montar a Inversa de uma TL
Muito bom, descobrimos como fazer a tal composição de . Mas depois desse exemplo que eu dei surgiram outras duas perguntas :P
Será que toda tem uma inversa? E, como achamos a tal inversa?
Bom, primeira coisa que você tem que saber é que uma função só admite inversa se ela é bijetiva.
Por exemplo a abaixo:
Será que ela é inversível? Ou melhor, uma pergunta que sabemos responder: Será que ela é bijetiva?
Assim, e ela é injetiva.
Como as dimensões do domínio e do contra domínio são as mesmas, se ela é injetiva ela também é sobrejetiva! Portanto, ela é bijetiva sim.
Obs.: Outra forma de verificarmos se uma transformação é invertível é olhando para sua matriz na base canônica! Se a matriz for inversível, a também será.
Voltando ao exemplo, encontramos que é bijetiva! E com isso podemos invertê-la! Tá, mas como faço isso?
Primeiro vamos definir uma base para o nosso domínio, de preferência a canônica:
Agora vamos calcular a imagem desses vetores, usando a fórmula da :
O que nós queremos saber é a expressão da . Bom se a tem que fazer o caminho inverso de , ou seja, levar os vetores de volta, é só trocar o que achamos aqui em cima!
Repare que o conjunto dos vetores forma uma base para o domínio de , já que:
Agora que temos uma base para o domínio de e a imagem de cada um desses vetores da base, podemos achar uma expressão para , assim como fazemos para uma qualquer. Basta aplicar todos aqueles passos que já aprendemos, que iremos achar uma expressão para !
Aplicando nos dois lados:
Agora vamos achar valores para :
Substituindo em :
E, assim, calculamos uma expressão para a inversa de . :D
Com matrizes...
E se o enunciado der a transformação na forma de matriz? Aí é só inverter a matriz! Olha só
Invertendo...
A matriz inversa então é que é exatamente a representação matricial de .