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TL Inversa

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Teoria

Vamos dar uma relembrada nas TL’s Compostas:

Vamos pegar, por exemplo, essas transformações abaixo:

T : R 4 ⟶ M 2 × 2

T x , y , z , w = x - w y z x + w

S : M 2 × 2 ⟶ R 4

S a b c d = 1 2 a + d , b , c , 1 2 d - a

Agora vamos compor S com T .

S T x , y , z , w = S x - w y z x + w = 1 2 x - w + x + w , y , z , 1 2 x + w - x + w

S T x , y , z , w = ( x , y , z ,   w )

Com isso, podemos ver que:

S ∘ T : R 4 ⟶ R 4

( S ∘ T ) x , y , z ,   w = ( x , y , z ,   w )

Pera então, essa transformação linear composta aí, você pega um vetor no R 4 e “cospe” o mesmo vetor no R 4 ! Sim, então essa é a transformação que não faz nada.

Mas pra que esse negócio serve?!

Te falar, isso é tão importante que recebe até um nome especial! Olha ai haha

Quando acontece isso, Dizemos que S ∘ T é a Transformação Identidade. Não confunda essa transformação com aquela matriz cheia de 0 ’s e 1 ’s! Estamos usando agora uma transformação linear, e não uma matriz.

S ∘ T x , y , z ,   w = x , y , z ,   w ⇔

I d x , y , z ,   w = ( x , y , z ,   w )

E agora que vem a importância dela. Se essa composta aí é a Transformação Identidade, então S é a inversa de T : S = T - 1 ! É só lembrar o conceito de função inversa!

f - 1 f a = a ,   a ∈ R

Como montar a Inversa de uma TL

Muito bom, descobrimos como fazer a tal composição de T L s . Mas depois desse exemplo que eu dei surgiram outras duas perguntas :P

Será que toda T L tem uma inversa? E, como achamos a tal T L inversa?

Bom, primeira coisa que você tem que saber é que uma função só admite inversa se ela é bijetiva.

Por exemplo a T L abaixo:

T : R 3 → R 3

T x , y , z = ( z , x - 2 y , x + 2 y )

Será que ela é inversível? Ou melhor, uma pergunta que sabemos responder: Será que ela é bijetiva?

T x , y , z = z , x - 2 y , x + 2 y = 0

z = 0 x - 2 y = 0 ⇒ x = 2 y ⇒ x = 0 x + 2 y = 0 ⇒ 4 y = 0 ⇒ y = 0

Assim, N u c T = { 0 } e ela é injetiva.

Como as dimensões do domínio e do contra domínio são as mesmas, se ela é injetiva ela também é sobrejetiva! Portanto, ela é bijetiva sim.

Obs.: Outra forma de verificarmos se uma transformação é invertível é olhando para sua matriz na base canônica! Se a matriz for inversível, a T L também será.

Voltando ao exemplo, encontramos que T é bijetiva! E com isso podemos invertê-la! Tá, mas como faço isso?

Primeiro vamos definir uma base para o nosso domínio, de preferência a canônica:

ε = { 1,0 , 0 ,   0,1 , 0 , 0,0 , 1 }

Agora vamos calcular a imagem desses vetores, usando a fórmula da T L :

T 1,0 , 0 = 0,1 , 1

T 0,1 , 0 = 0 , - 2,2

T 0,0 , 1 = 1,0 , 0

O que nós queremos saber é a expressão da T - 1 . Bom se a T - 1 tem que fazer o caminho inverso de T , ou seja, levar os vetores de volta, é só trocar o que achamos aqui em cima!

T - 1 0,1 , 1 = 1,0 , 0

T - 1 0 , - 2,2 = 0,1 , 0

T - 1 1,0 , 0 = ( 0,0 , 1 )

Repare que o conjunto dos vetores { 0,1 , 1 , 0 , - 2,2 , 1,0 , 0 } forma uma base para o domínio de T - 1 , já que:

T - 1 : R 3 ⟶ R 3

Agora que temos uma base para o domínio de T - 1 e a imagem de cada um desses vetores da base, podemos achar uma expressão para T - 1 , assim como fazemos para uma T qualquer. Basta aplicar todos aqueles passos que já aprendemos, que iremos achar uma expressão para T - 1 !

x , y , z = a 0,1 , 1 + b 0 , - 2,2 + c 1,0 , 0

Aplicando T - 1 nos dois lados:

T - 1 x , y , z = a T - 1 0,1 , 1 + b T - 1 0 , - 2,2 + c T - 1 1,0 , 0 ⇒

T - 1 x , y , z = a 1,0 , 0 + b 0,1 , 0 + c 0,0 , 1 ⇒

T - 1 x , y , z = a , b , c     ( I )

Agora vamos achar valores para a , b , c :

x , y , z = a 0,1 , 1 + b 0 , - 2,2 + c 1,0 , 0 ⇒

x , y , z = c , a - 2 b , a + 2 b ⇒

c = x y = a - 2 b ⇒ a = y + 2 b ⇒ a = y + z 2 z = a + 2 b ⇒ z = y + 4 b ⇒ b = z - y 4

Substituindo em ( I ) :

T - 1 x , y , z = y + z 2 , z - y 4 , x

E, assim, calculamos uma expressão para a inversa de T . :D

Com matrizes...

E se o enunciado der a transformação na forma de matriz? Aí é só inverter a matriz! Olha só

T x , y , z = ( z , x - 2 y , x + 2 y )

T x , y , z = 0 0 1 1 - 2 0 1 2 0 x y z

Invertendo...

0 0 1 1 - 2 0 1 2 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 → 1 2 0 1 - 2 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0

→ 1 2 0 0 - 4 0 0 0 1 0 0 1 0 1 - 1 1 0 0   → 1 2 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 - 1 4 1 4 1 0 0

  → 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 2 1 2 0 - 1 4 1 4 1 0 0

A matriz inversa então é 0 1 2 1 2 0 - 1 4 1 4 1 0 0 que é exatamente a representação matricial de T - 1 x , y , z = y + z 2 , z - y 4 , x .

Como montar a Inversa de uma TL

Com matrizes...

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Sabendo que:

T : R 3 ⟶ V

T x , y , z = x + y 0 0 x + y

S a 0 0 d = a , 0 , a

S :   V ⟶ R 3

Tal que V é o espaço vetorial abaixo:

V = A ∈ M 2 × 2 a 12 = a 21 = 0 }

Foi perguntado a Vitinho se T era a inversa de S , T = S - 1 . Assim, Vitinho respondeu:

“Sim, pois se compormos T com S vamos ter:

T S a 0 0 d = T a , 0 , a = a + 0 0 0 a + 0 = a 1 0 0 1

Assim,

T ∘ S = I d

E, portanto, pela definição T = S - 1 .”

Sabendo que Vitinho está errado, encontre o erro e apresente uma nova solução para que S = T - 1 .

Passo 1

Podemos ver que Vitinho não sabia a definição corretamente de uma transformação inversa. Ele confundiu a matriz identidade com a transformação identidade.

Além disso, mesmo que fosse a função identidade deveríamos ter I d u = u e não foi o que aconteceu, já que a matriz que “entrava” pelo domínio era a 0 0 d ≠ a 0 0 a .

Passo 2

Para consertar o erro, devemos restringir o domínio de S para:

V = A ∈ M 2 × 2 a 12 = a 21 = 0   e   a 11 = a 22 }

Assim teríamos:

T S a 0 0 a = T a , 0 , a = a + 0 0 0 a + 0 = a 0 0 a

E, portanto:

T ∘ S a 0 0 a = I d a 0 0 a = a 0 0 a

Para:

I d : V ⟶ V

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercício Resolvido #2

Como Construir e Inverter Uma TL e Composição de TL's

Sejam T : R n ⟶ R m e S : R m ⟶ R k duas transformações lineares injetivas. Prove que S ∘ T   : R n ⟶ R k é também injetiva.

Passo 1

Se ela é injetiva, queremos ver que S ∘ T u = 0 ⇔ u = 0 , mas podemos reescrever de outra forma:

S T u = 0

Passo 2

Mas como S é injetiva, sabemos que S T u = 0 ⇔ T u = 0 .

Mas como T é injetiva, sabemos que T u = 0 ⇔ u = 0 .

E assim, provamos que S T u = 0 ⇔ u = 0 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercício Resolvido #3

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2 a Ed. São Paulo: Pearson, 1987, pp. 232 - 1

Seja o operador linear em R 2 definido por T x , y = 4 x - 3 y , - 2 x + 2 y

  1. Mostrar que T   é inversível.
  2. Encontrar uma regra para T - 1 como a que define T .

Passo 1

Para começar vamos ver se essa transformação é inversível. Para isso, o jeito mais fácil é achando a matriz que representa a transformação e calculando o seu determinante.

Se o determinante for diferente de zero, temos que a matriz é sim inversível!

A matriz dessa transformação é T = 4 - 3 - 2 2

Cujo determinante é:

det ⁡ T = 8 - 6 = 2

Como 2 ≠ 0 a nossa transformação é inversível!

Passo 2

Agora a letra b. Queremos achar a expressão analítica da inversa de T .

Bom, já temos a matriz que representa T ,   podemos achar a inversa dela e fazer o caminho contrário do que fizemos antes, encontrando a expressão através da matriz.

Bora acha a inversa de T .

Como ela é 2 × 2 , podemos aplicar aquela formulinha:

A = a b c d

A - 1 = 1 a d - b c d - b - c a

Aplicando na matriz T :

T - 1 = 1 8 - 6 2 3 2 4 = 1 3 2 1 2

Passo 3

Agora vamos passar isso para expressão analítica:

T - 1 x , y = 1 3 2 1 2 x y = x + 3 2 y x + 2 y

Logo o vetor x , y depois da transformação vai ficar igual a ( x + 3 2 y ,   x + 2 y ) .

T x , y = ( x + 3 2 y ,   x + 2 y )

Resposta

  1. Sim
  2. T x , y = ( x + 3 2 y ,   x + 2 y )

Exercício Resolvido #4

UFRJ, Álgebra Linear, P3 – 2014.1, Questão 10

Quais são todos os valores de a ∈ R para os quais o operador linear T : R 3 → R 3 dado por T x , y , z = a x + 2 a y + z , a y + 2 z , a x + y - z é invertível?

( a ) a ≠ 0

( b ) a ∉ 0 , - 1

( c ) a ∉ 0,1

( d ) a qualquer

Passo 1

Para que a T L seja invertível, ela precisa ser bijetiva. Como as dimensões do domínio e do contra domínio são iguais, basta que ela seja sobrejetiva ou injetiva para que ela seja sobrejetiva. Então vamos achar a que torne T sobrejetiva.

T x , y , z = a x + 2 a y + z , a y + 2 z , a x + y - z

T = a 2 a 1 0 a 2 a 1 - 1

Como as dimensões do domínio e do contra domínio são iguais, para T ser injetiva, basta que as linhas ou as colunas da matriz sejam L I . Então vamos escalonar:

a 2 a 1 0 a 2 a 1 - 1 → L 3 ← L 3 - L 1 a 2 a 1 0 a 2 0 1 - 2 a - 2 → L 3 ← L 3 + 2 L 2 a 2 a 1 0 a 2 0 1 2

→ L 2 ← L 2 - L 3 L 1 ← L 1 - L 3 2 a 2 a - 1 2 0 0 a - 1 0 0 1 2 → L 1 ← L 1 - 2 L 2 a 3 2 0 0 a - 1 0 0 1 2

Repare que se a = 1 teremos uma linha zerada, logo A não será sobrejetiva. Se a = 0 , a primeira linha será múltipla da segunda, então a matriz também não será sobrejetiva.

Para qualquer outro valor real que a assuma, as linhas serão L I e a matriz será sobrejetiva e portanto inversível. Então temos que a ∉ 0,1

Resposta

Letra ( c )

Exercícios de Livros Relacionados

Sejam A e B matrizes semelhantes. Prove: A T e B T são semelhantes.Se A e B forem invertíveis, então A - 1 e B - 1 são semelhantes.
Sejam T A : R 3 → R 3 , T B : R 3 → R 3 e T C : R 3 → R 3 as reflexões nos planos x y ,x zey z , respectivamente. Verifique a Fórmula (8) com esses operadores.
Sejam T 1 : P 2 → P 3 e T 2 : P 3 → P 3 os operadores lineares dados pelas fórmulas T 1 p x = x p ( x ) eT 2 p x = p x + 1 Encontre fórmulas para T 1 - 1 x ,y , T 2 - 1 x ,y , T 2 ∘ T 1 - 1 ( x ,y ) V
Prove: se T : V → W for uma transformação linear injetora, então T - 1 : I m T → V é uma transformação linear injetora.
T 1 : R 2 → R 2 é a reflexão no eixo x e T 2 : R 2 → R 2 é a reflexão no eixo y . T 1 : R 2 → R 2 é a projeção ortogonal no eixo x e T 2 : R 2 → R 2 é a rotação anti-horária pelo ângulo θ . T 1 : R 3