Teoria

Vamos dar uma relembrada nas TL’s Compostas:

Vamos pegar, por exemplo, essas transformações abaixo:

T : R 4 ⟶ M 2 × 2

T x , y , z , w = x - w y z x + w

S : M 2 × 2 ⟶ R 4

S a b c d = 1 2 a + d , b , c , 1 2 d - a

Agora vamos compor S com T .

S T x , y , z , w = S x - w y z x + w = 1 2 x - w + x + w , y , z , 1 2 x + w - x + w

S T x , y , z , w = ( x , y , z ,   w )

Com isso, podemos ver que:

S ∘ T : R 4 ⟶ R 4

( S ∘ T ) x , y , z ,   w = ( x , y , z ,   w )

Pera então, essa transformação linear composta aí, você pega um vetor no R 4 e “cospe” o mesmo vetor no R 4 ! Sim, então essa é a transformação que não faz nada.

Mas pra que esse negócio serve?!

Te falar, isso é tão importante que recebe até um nome especial! Olha ai haha

Quando acontece isso, Dizemos que S ∘ T é a Transformação Identidade. Não confunda essa transformação com aquela matriz cheia de 0 ’s e 1 ’s! Estamos usando agora uma transformação linear, e não uma matriz.

S ∘ T x , y , z ,   w = x , y , z ,   w ⇔

I d x , y , z ,   w = ( x , y , z ,   w )

E agora que vem a importância dela. Se essa composta aí é a Transformação Identidade, então S é a inversa de T : S = T - 1 ! É só lembrar o conceito de função inversa!

f - 1 f a = a ,   a ∈ R

Como montar a Inversa de uma TL

Muito bom, descobrimos como fazer a tal composição de T L s . Mas depois desse exemplo que eu dei surgiram outras duas perguntas :P

Será que toda T L tem uma inversa? E, como achamos a tal T L inversa?

Bom, primeira coisa que você tem que saber é que uma função só admite inversa se ela é bijetiva.

Por exemplo a T L abaixo:

T : R 3 → R 3

T x , y , z = ( z , x - 2 y , x + 2 y )

Será que ela é inversível? Ou melhor, uma pergunta que sabemos responder: Será que ela é bijetiva?

T x , y , z = z , x - 2 y , x + 2 y = 0

z = 0 x - 2 y = 0 ⇒ x = 2 y ⇒ x = 0 x + 2 y = 0 ⇒ 4 y = 0 ⇒ y = 0

Assim, N u c T = { 0 } e ela é injetiva.

Como as dimensões do domínio e do contra domínio são as mesmas, se ela é injetiva ela também é sobrejetiva! Portanto, ela é bijetiva sim.

Obs.: Outra forma de verificarmos se uma transformação é invertível é olhando para sua matriz na base canônica! Se a matriz for inversível, a T L também será.

Voltando ao exemplo, encontramos que T é bijetiva! E com isso podemos invertê-la! Tá, mas como faço isso?

Primeiro vamos definir uma base para o nosso domínio, de preferência a canônica:

ε = { 1,0 , 0 ,   0,1 , 0 , 0,0 , 1 }

Agora vamos calcular a imagem desses vetores, usando a fórmula da T L :

T 1,0 , 0 = 0,1 , 1

T 0,1 , 0 = 0 , - 2,2

T 0,0 , 1 = 1,0 , 0

O que nós queremos saber é a expressão da T - 1 . Bom se a T - 1 tem que fazer o caminho inverso de T , ou seja, levar os vetores de volta, é só trocar o que achamos aqui em cima!

T - 1 0,1 , 1 = 1,0 , 0

T - 1 0 , - 2,2 = 0,1 , 0

T - 1 1,0 , 0 = ( 0,0 , 1 )

Repare que o conjunto dos vetores { 0,1 , 1 , 0 , - 2,2 , 1,0 , 0 } forma uma base para o domínio de T - 1 , já que:

T - 1 : R 3 ⟶ R 3

Agora que temos uma base para o domínio de T - 1 e a imagem de cada um desses vetores da base, podemos achar uma expressão para T - 1 , assim como fazemos para uma T qualquer. Basta aplicar todos aqueles passos que já aprendemos, que iremos achar uma expressão para T - 1 !

x , y , z = a 0,1 , 1 + b 0 , - 2,2 + c 1,0 , 0

Aplicando T - 1 nos dois lados:

T - 1 x , y , z = a T - 1 0,1 , 1 + b T - 1 0 , - 2,2 + c T - 1 1,0 , 0 ⇒

T - 1 x , y , z = a 1,0 , 0 + b 0,1 , 0 + c 0,0 , 1 ⇒

T - 1 x , y , z = a , b , c     ( I )

Agora vamos achar valores para a , b , c :

x , y , z = a 0,1 , 1 + b 0 , - 2,2 + c 1,0 , 0 ⇒

x , y , z = c , a - 2 b , a + 2 b ⇒

c = x y = a - 2 b ⇒ a = y + 2 b ⇒ a = y + z 2 z = a + 2 b ⇒ z = y + 4 b ⇒ b = z - y 4

Substituindo em ( I ) :

T - 1 x , y , z = y + z 2 , z - y 4 , x

E, assim, calculamos uma expressão para a inversa de T . :D

Com matrizes...

E se o enunciado der a transformação na forma de matriz? Aí é só inverter a matriz! Olha só

T x , y , z = ( z , x - 2 y , x + 2 y )

T x , y , z = 0 0 1 1 - 2 0 1 2 0 x y z

Invertendo...

0 0 1 1 - 2 0 1 2 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 → 1 2 0 1 - 2 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0

→ 1 2 0 0 - 4 0 0 0 1 0 0 1 0 1 - 1 1 0 0   → 1 2 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 - 1 4 1 4 1 0 0

  → 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 2 1 2 0 - 1 4 1 4 1 0 0

A matriz inversa então é 0 1 2 1 2 0 - 1 4 1 4 1 0 0 que é exatamente a representação matricial de T - 1 x , y , z = y + z 2 , z - y 4 , x .

Como montar a Inversa de uma TL

Com matrizes...

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