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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 20.Exercício - Ex. 10c

Calcule a distância do ponto P à reta r .

c) P = (1 , - 1,4) , r : (x - 2)/(4) = (y)/(- 3) = (1 - z)/(2)

Passo 1

a) Da reta r , temos

(x - 2)/(4) = (y)/(- 3)

x - 2 = - (4)/(3) y

x = - (4)/(3) y + 2

E

(y)/(- 3) = (1 - z)/(2)

- (2)/(3) y = 1 - z

z = (2)/(3) y + 1

Então, a reta tem o formato

(x , y , z) = (- (4)/(3) y + 2 , y , (2)/(3) y + 1)

Trocando y por um parâmetro t , temos que um ponto genérico dessa reta é

A = (- (4)/(3) t + 2 , t , (2)/(3) t + 1)

Dando o valor t = 1 , temos um ponto arbitrário

A = ( (2)/(3) , 1 , (5)/(3) )

Além disso, o vetor diretor vec r da reta r é dado pelos coeficientes de t , ou seja, os números que multiplicam ele:

vec r = ( - (4)/(3) , 1 , (2)/(3) )

Passo 2

A fórmula de distância entre ponto e reta é

d (P , r) = (||vec A P ^^ vec r||)/(||vec r||)

Sabendo que vec A P = P - A = (1 , - 1,4) - ((2)/(3) , 1 , (5)/(3)) = ( (1)/(3) , - 2 , (7)/(3) ) , e lembrando que vec r = ( - (4)/(3) , 1 , (2)/(3) ) , então:

d (P , r) = (||((1)/(3) , - 2 , (7)/(3)) ^^ (- (4)/(3) , 1 , (2)/(3))||)/(||(- (4)/(3) , 1 , (2)/(3))||)

d (P , r) = (||( - (11)/(3) , - (10)/(3) , - (7)/(3) )||)/(||(- (4)/(3) , 1 , (2)/(3))||)

Calculando os módulos:

d (P , r) = (sqrt((- (11)/(3))^2 + (- (10)/(3))^2 + (- (7)/(3))^2))/(sqrt((- (4)/(3))^2 + 1^2 + ((2)/(3))^2)) = ((1)/(3) sqrt(270))/((1)/(3) sqrt(29)) = (sqrt(270))/(sqrt(29)) = sqrt((270)/(29))

Resposta

a) d (P , r) = sqrt((270)/(29))

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