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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 20.Exercício - Ex. 7a

Obtenha equações do lugar geométrico dos pontos de E ³ que equidistam de A , B e C e determine as coordenadas do circuncentro do triângulo A B C , nos casos:

a) A = 0 ,   2 ,   1                     B = 2 ,   2 ,   - 1                     C = ( - 2 ,   0 ,   3 )

Passo 1

a) Vamos por partes ta ok? Queremos que esse lugar geométrico tenha pontos X = ( x ,   y ,   z ) que tenham a mesma distância até A ,   B e C .

Primeiro vamos fazer

d X ,   A = d ( X ,   B )

Pela fórmula de distância entre pontos:

x 2 + y - 2 2 + z - 1 2 = x - 2 2 + y - 2 2 + z + 1 2

Elevando os dois lados ao quadrado:

x 2 + y - 2 2 + z - 1 2 = x - 2 2 + y - 2 2 + z + 1 2

Vamos desenvolver os produtos notáveis:

x 2 + y 2 - 4 y + 4 + z 2 - 2 z + 1 = x 2 - 4 x + 4 + y 2 - 4 y + 4 + z 2 + 2 z + 1

- 4 x + 4 z + 4 = 0 = - x + z + 1 ( I )

Belezinha, chegamos na expressão de um lugar geométrico equidistante a A e B . Agora vamos colocar o ponto C em jogo!!

Passo 2

Agora vamos fazer

d X ,   B = d ( X ,   C )

x - 2 2 + y - 2 2 + z + 1 2 = x + 2 2 + y 2 + z - 3 2

x 2 - 4 x + 4 + y 2 - 4 y + 4 + z 2 + 2 z + 1 = x 2 + 4 x + 4 + y 2 + z 2 - 6 z + 9

- 8 x - 4 y + 8 z - 4 = 0

- 2 x - y + 2 z - 1 = 0   ( I I )

Passo 3

Então temos um sistema com os planos ( I ) e ( I I )

- x + z + 1 = 0 - 2 x - y + 2 z - 1 = 0

Vamos encontrar a intersecção entre eles.

Da primeira equação, temos que z = x - 1 . Substituindo na segunda:

- 2 z + 1 - y + 2 z - 1 = 0

- 2 z - 2 - y + 2 z - 1 = 0

y = - 3

Então, temos que o lugar geométrico é

x ,   y ,   z = x ,   - 3 ,   x - 1

x ,   y ,   z = 0 ,   - 3 ,   - 1 + λ 1 ,   0 ,   1

E, consequentemente, o circuncentro é ( 1 , - 3,0 ) .

Beleza?!

Resposta

a) A reta X = 1 ,   - ,   0 + λ 1 ,   0 ,   1 e o cinrcuncentro é ( 1 , - 3,0 ) .

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