Estude a posição relativa de r e π e, quando forem transversais, obtenha o ponto de interseção P .

c) r : x - y + z = 0 2 x + y - z - 1 = 0                               π : X = 0 , 1 2 ,   0 + λ 1 ,   - 1 2 ,   0 + μ ( 0 ,   1 ,   1 )

Passo 1

Primeiro vamos encontrar a reta r :

x - y + z = 0 2 x + y - z - 1 = 0

Somando as duas equações:

3 x - 1 = 0

x = 1 3

Substituindo na primeira equação:

1 3 - y + z = 0

y = z + 1 3

Então a equação da reta é:

x ,   y ,   z = 1 3 ,   z + 1 3 ,   z

x ,   y ,   z = 1 3 , 1 3 ,   0 + λ ( 0 ,   1 ,   1 )

Passo 2

O vetor diretor de r é ( 0 ,   1 ,   1 ) e os vetores diretores do plano são 1 ,   - 1 2 ,   0 e ( 0 ,   1 ,   1 ) .

Opa, um dos vetores diretores do plano é o mesmo vetor diretor de r , reparou??

Então, de cara, já temos que a reta é paralela ao plano.

Passo 3

Vamos igualar a equação do plano ao ponto 1 3 , 1 3 ,   0 da reta para ver se ela é apenas paralela ao plano ou se está contida nele

1 3 , 1 3 ,   0 = 0 , 1 2 ,   0 + λ 1 ,   - 1 2 ,   0 + μ ( 0 ,   1 ,   1 )

1 3 , 1 3 ,   0 = λ , 1 2 - λ 2 + μ ,   μ

Igualando as coordenadas:

λ = 1 3 1 2 - λ 2 + μ = 1 3 μ = 0

Da terceira equação, temos μ = 0 e da primeira temos λ = 1 3 , substituindo essas valores na segunda equação:

1 2 - 1 6 = 1 3

1 3 = 1 3

Então, o sistema é possível para os valores que encontramos.

Logo, a reta está contida no plano ;)

Resposta

c) A reta está contida no plano.

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