Enunciado

A, B, C e D são vértices de um trapézio isósceles de bases AB e CD e diagonais AC e BD (SO).

  1. Determine A, supondo que B = 1 , - 1,2 , C = 3 , - 2,3 e D = 3,1 , 0 ;
  2. Determine C e D , supondo que A = 2,2 , - 1 e B = 0,3 , 0 , que o lado BC tenha medida 6 e que o ponto de encontro das diagonais seja H = 1,2 , 0

Passo 1

Para resolvermos esta questão, precisamos lembrar das relações geométricas de um trapézio isósceles. Ele terá lados A B e C D paralalelos, as diagonais A C e B D possuirão o mesmo comprimento, assim como os lados A D e B C .

Então, para resolvermos a questão, precisaremos trabalhar bastante com as relações de distância de ponto a ponto. Mas antes disto, quem é o ponto A ?

Sabemos que o lado A B é paralelo ao lado C D . Portanto, sabemos que:

B A → = λ C D →

A = B + λ C D →

A = 1 , - 1,2 + λ 0,3 , - 3

A = 1 , - 1 + 3 λ , 2 - 3 λ

Então, existe algum valor de λ que satisfará a relação acima, e este será o nosso trabalho.

Passo 2

Mas e agora? Como iremos descobrir o valor de λ ?

Bom, é agora que vamos utilizar as relações de distância. Começaremos utilizando a igualdade do comprimento dos lados A D e B C . Portanto,

d A , D = d B , C

2 2 + 2 - 3 λ 2 + - 2 + 3 λ 2 = 2 2 + - 1 2 + 1 2

4 + 9 λ 2 - 12 λ + 4 + 9 λ 2 - 12 λ + 4 = 4 + 1 + 1

18 λ 2 - 24 λ + 12 = 6

18 λ 2 - 24 λ + 12 = 6

3 λ 2 - 4 λ + 1 = 0

Resolvendo a equação acima, temos: λ 1 = 1 ou λ 2 = 1 / 3 .

Passo 3

E agora? Como saberemos qual dos dois valores de λ encontrados no final do passo anterior é o valor correto?

Simples, basta repetirmos o mesmo procedimento, só que agora comparando as diagonais A C e B D . Portanto,

d A , C = d B , D

2 2 + - 1 - 3 λ 2 + 1 + 3 λ 2 = 2 2 + 2 2 + - 2 2

4 + 9 λ 2 + 6 λ + 1 + 9 λ 2 + 6 λ + 1 = 4 + 4 + 4

18 λ 2 + 12 λ + 6 = 12

18 λ 2 + 12 λ + 6 = 12

3 λ 2 + 2 λ - 1 = 0

Resolvendo a equação acima, temos: λ 3 = 1 / 3 ou λ 4 = - 1 .

Então, comparando os valores de λ obtidos neste passo com o do passo anterior, o único par igual é λ 2 = λ 3 = 1 / 3 . Portanto, este é o valor correto que estamos buscando. Consequentemente, as coordenadas de A são:

A = 1 , 0 , 1

Resposta

A = 1,0 , 1

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Estude a posição relativa de r e π e, quando forem transversais, obtenha o ponto de interseção P .e) r : X = 0 ,0 ,0 + λ 1 ,4 ,1π : X = 1 ,- 1 ,1 + λ 0 ,1 ,2 + μ ( 1 ,- 1 ,0 )
Estude a posição relativa de r e π e, quando forem transversais, obtenha o ponto de interseção P .f) r : x + 2 3 = y - 1 = z + 3 3π : 3 x - 6 y - z = 0
Calcule m e n para que r esteja contida em pi .a) r : X = (n , 2 , 0) + lambda (2 , m , m) pi : x - 3 y + z = 1 b) r : X = (m , 3 , n) + lambda (1 , 1 , n) pi : n x - n y + m z = 1
Estude a posição relativa de r e π e, quando forem transversais, obtenha o ponto de interseção P .d) r : x - y = 1 x - 2 y = 0π : x + y = 2