Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 18.Exercício - Ex. 39b
A, B, C e D são vértices de um trapézio isósceles de bases AB e CD e diagonais AC e BD (SO).
- Determine A, supondo que , e ;
- Determine e , supondo que e , que o lado BC tenha medida e que o ponto de encontro das diagonais seja
Passo 1
Para resolvermos esta questão, precisamos lembrar das relações geométricas de um trapézio isósceles. Ele terá lados e paralalelos, as diagonais e possuirão o mesmo comprimento, assim como os lados e .
Então, para resolvermos a questão, precisaremos trabalhar bastante com as relações de distância de ponto a ponto. Mas antes disto, aonde está localizado o ponto e ?
Nós não sabemos a localização do ponto , interseção das duas diagonais? Então, quer dizer que o ponto pertence tanto a diagonal quando a diagonal .
Então, podemos escrever as coordenadas do ponto da seguinte maneira:
Então, existe algum valor de que satisfará a relação acima. Da mesma forma, podemos escrever o ponto da seguinte maneira:
Então, existe algum valor de que satisfará a relação acima. O nosso trabalho será descobrir os valores de e que satisfazem as condições de distância.
Passo 2
Vamos começar trabalhando com o ponto . Sabemos que a aresta tem comprimento . Portanto, existe algum valor de que satisfará:
Se , teremos exatamente o ponto , o que não é a solução que buscamos. Então, a outra solução da equação acima, , é a solução que buscamos. Sendo assim, o ponto é dado por:
Passo 3
Agora, vamos repetir todo o procedimento do passo anterior só que para o ponto . Sabemos que a aresta tem comprimento (pois é um triângulo isósceles). Portanto, existe algum valor de que satisfará:
Se , teremos exatamente o ponto , o que não é a solução que buscamos. Então, a outra solução da equação acima, , é a solução que buscamos. Sendo assim, o ponto é dado por: