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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 2.10 - Ex. 38b

Determinar o subespaço de P 2 (espaço vetorial dos polinômios de grau ≤ 2 ) gerado pelos seguintes vetores:

p 1 = x 2

p 2 = x 2 + x

Passo 1

Então, pessoal, uma boa idéia pra mexer com espaço vetorial e polinômios é associá-los a um vetor, fazendo assim: vamos associar o polinômio p = a x 2 + b x + c ao vetor v = ( a ,   b ,   c ) . Isso permite que a gente trabalhe com muito mais facilidade com o espaço vetorial! Então, usando essa idéia, vamos encontrar:

p 1 = x 2 → v 1 = 1 ,   0 ,   0

p 2 = x 2 + x → v 2 = ( 1 ,   1 ,   0 )

Passo 2

Pra encontrar o espaço vetorial, lembra que o espaço gerado pelos vetores são todas as combinações lineares que conseguimos fazer com eles! Então um polinômio qualquer desse espaço vai ser dessa forma:

p = m p 1 + n p 2

v = m v 1 + n v 2

a ,   b ,   c = m 1 ,   0 ,   0 + n 1 ,   1 ,   0

Isso vai gerar o sistema:

a = m + n b = n c = 0

Passo 3

Agora vamos resolver esse sistema! Da terceira equação, já temos c = 0 . Agora repara que tanto a quanto b são completamente livres: o b é igual a um n qualquer, e o a é soma desse n com um m qualquer. Não tem restrição sobre eles! Essa é a definição do subespaço! Vão ser os polinômios p = a x 2 + b x que tem os coeficientes a e b livres! Por isso, o subespaço vai ser:

a x 2 + b x ; a ,   b ∈ R

Resposta

a x 2 + b x ; a ,   b ∈ R

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Calcule m de modo que u → = ( 1 ,2 ,2 ) seja gerado por v → = ( m - 1 ,1 ,m - 2 ) , w → = ( m + 1 ,m - 1 ,2 ) . Em seguida, determine m para que u → ,v → ,w → seja LD.
Em cada caso, calcule m para que os vetores sejam LD. u → = 1 - m 2 ,1 - m ,0 ,v → = ( m ,m ,m )
Sejam E = e → 1 ,e → 2 ,e → 3 uma base, u → = 1 ,2 ,- 1 E , f → 1 = e → 1 + e → 2 + e → 3 , f → 2 = m e → 1 + 2 m e → 2 - e → 3 , f → 3 = 4 e → 2 + 3 e → 3 .a) Para que valores de m a tripla F = f → 1
Verifique de u → , v → e w → são LI ou LD.a) u → = ( 1 ,0 ,0 ) , v → = ( 200 ,2 ,1 ) , w → = ( 300 ,1 ,2 ) .b) u → = ( 1 ,2 ,1 ) , v → = ( 1 ,- 1 ,- 7 ) , w → = ( 4 ,5 ,- 4 ) .c) u → = ( 1 ,- 1 ,2 ) ,
Sejam E = e → 1 ,e → 2 ,e → 3 uma base, f → 1 = e → 1 - e → 2 , f → 2 = m e → 1 + e → 3 , f → 3 = - e → 1 - e → 2 - e → 3 .a) Para que valores de m a tripla F = f → 1 ,f → 2 ,f → 3 é base?b) Nas condi