Determinar o subespaço de P 2 (espaço vetorial dos polinômios de grau ≤ 2 ) gerado pelos seguintes vetores:

p 1 = x 2

p 2 = x 2 + x

Passo 1

Então, pessoal, uma boa idéia pra mexer com espaço vetorial e polinômios é associá-los a um vetor, fazendo assim: vamos associar o polinômio p = a x 2 + b x + c ao vetor v = ( a ,   b ,   c ) . Isso permite que a gente trabalhe com muito mais facilidade com o espaço vetorial! Então, usando essa idéia, vamos encontrar:

p 1 = x 2 → v 1 = 1 ,   0 ,   0

p 2 = x 2 + x → v 2 = ( 1 ,   1 ,   0 )

Passo 2

Pra encontrar o espaço vetorial, lembra que o espaço gerado pelos vetores são todas as combinações lineares que conseguimos fazer com eles! Então um polinômio qualquer desse espaço vai ser dessa forma:

p = m p 1 + n p 2

v = m v 1 + n v 2

a ,   b ,   c = m 1 ,   0 ,   0 + n 1 ,   1 ,   0

Isso vai gerar o sistema:

a = m + n b = n c = 0

Passo 3

Agora vamos resolver esse sistema! Da terceira equação, já temos c = 0 . Agora repara que tanto a quanto b são completamente livres: o b é igual a um n qualquer, e o a é soma desse n com um m qualquer. Não tem restrição sobre eles! Essa é a definição do subespaço! Vão ser os polinômios p = a x 2 + b x que tem os coeficientes a e b livres! Por isso, o subespaço vai ser:

a x 2 + b x ; a ,   b ∈ R

Resposta

a x 2 + b x ; a ,   b ∈ R

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