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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 2.10 - Ex. 35d

Determinar o subespaço do R 3 gerado pelo seguinte conjunto:

{ - 1 ,   1 ,   0 ,   0 ,   1 ,   - 2 ,   ( - 2 ,   3 ,   1 ) }

Passo 1

Funciona assim: qualquer vetor do subespaço que estamos procurando vai ser combinação linear desses três vetores! Então podemos escrever assim pra um vetor genérico ( x , y , z ) :

x , y , z = a - 1 ,   1 ,   0 + b 0 ,   1 ,   - 2 + c - 2 ,   3 ,   1

x , y , z = - a - 2 c ,   a + b + 3 c ,   - 2 b + c

Isso nos dá um sisteminha:

- a - 2 c = x a + b + 3 c = y - 2 b + c = z

Passo 2

Vamos resolver esse sistema pra encontrar a , b e c . Da primeira e da terceira equações, vamos encontrar:

a = - x - 2 c

b = c - z 2

Agora vamos substituir isso na segunda equação:

- x - 2 c + c - z 2 + 3 c = y

- 2 x - 4 c + c - z + 6 c = 2 y

3 c - 2 x - z = 2 y

Arrumando, chegamos em:

c = 2 y + 2 x + z 3

Beleza, agora substitui nas outras duas pra encontrar a e b ! Primeiro em a :

a = - x - 2 2 y + 2 x + z 3

a = - 7 3 x - 4 3 y - 2 3 z

Agora em b :

b = 2 y + 2 x + z 3 - z 2 = 2 y + 2 x + z - 3 z 6

b = x 3 + y 3 - z 3

Passo 3

Galera, vamos botar isso lá na nossa primeira equação da combinação linear pra ver o que dá!

x , y , z = a - 1 ,   1 ,   0 + b 0 ,   1 ,   - 2 + c - 2 ,   3 ,   1

x , y , z = - 7 3 x - 4 3 y - 2 3 z - 1 ,   1 ,   0 + x 3 + y 3 - z 3 0 ,   1 ,   - 2 + 2 y + 2 x + z 3 ( - 2 ,   3 ,   1 )

Tá, temos uma equação, beleza... mas o que isso quer dizer pra gente? Muito simples, meu jovem Padawan. A gente conseguiu escrever o vetor genérico x ,   y ,   z do R 3 em função dos três vetores que a gente tinha em uma combinação linear. Se os três vetores combinados formam um vetor genérico do R 3 , quer dizer que a combinação deles gera o R 3 , e portanto, em outras palavras, os vetores formam o R 3 . Foi?

O nosso espaço gerado é o R 3 .

Resposta

R 3

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Quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base de P 2 ? 2 t 2 + t - 4 , t 2 - 3 t + 1 1 ,t ,t 2 2 ,1 - x , 1 + x 2 1 + x + x 2 , x + x 2 , x 2 1 + x , x - x 2 , 1 + 2 x - x 2
Se e → 1 , e → 2 ,e → 3 é base, prove que α 1 e → 1 ,α 2 e → 2 ,α 3 e → 3 é base se, e somente se, α 1 , α 2 e α 3 não são nulos. Interprete geometricamente.
Em cada caso, calcule m para que os vetores sejam LD. u → = m ,1 ,m + 1 ,v → = 1 ,2 ,m , w → = ( 1 ,1 ,1 )
Em cada caso, calcule m para que os vetores sejam LD. u → = m ,1 ,m + 1 ,v → = 0 ,1 ,m , w → = ( 0 ,m ,2 m )
Verifique se f → 1 ,f → 2 ,f → 3 é base, sabendo que f → 1 = e → 1 + e → 2 + e → 3 , f → 2 = e → 1 + e → 2 e f → 3 = e → 3 e que ( e → 1 ,e → 2 ,e → 3 ) é base.