Determinar o subespaço do R 3 gerado pelo seguinte conjunto:

{ - 1 ,   1 ,   0 ,   0 ,   1 ,   - 2 ,   ( - 2 ,   3 ,   1 ) }

Passo 1

Funciona assim: qualquer vetor do subespaço que estamos procurando vai ser combinação linear desses três vetores! Então podemos escrever assim pra um vetor genérico ( x , y , z ) :

x , y , z = a - 1 ,   1 ,   0 + b 0 ,   1 ,   - 2 + c - 2 ,   3 ,   1

x , y , z = - a - 2 c ,   a + b + 3 c ,   - 2 b + c

Isso nos dá um sisteminha:

- a - 2 c = x a + b + 3 c = y - 2 b + c = z

Passo 2

Vamos resolver esse sistema pra encontrar a , b e c . Da primeira e da terceira equações, vamos encontrar:

a = - x - 2 c

b = c - z 2

Agora vamos substituir isso na segunda equação:

- x - 2 c + c - z 2 + 3 c = y

- 2 x - 4 c + c - z + 6 c = 2 y

3 c - 2 x - z = 2 y

Arrumando, chegamos em:

c = 2 y + 2 x + z 3

Beleza, agora substitui nas outras duas pra encontrar a e b ! Primeiro em a :

a = - x - 2 2 y + 2 x + z 3

a = - 7 3 x - 4 3 y - 2 3 z

Agora em b :

b = 2 y + 2 x + z 3 - z 2 = 2 y + 2 x + z - 3 z 6

b = x 3 + y 3 - z 3

Passo 3

Galera, vamos botar isso lá na nossa primeira equação da combinação linear pra ver o que dá!

x , y , z = a - 1 ,   1 ,   0 + b 0 ,   1 ,   - 2 + c - 2 ,   3 ,   1

x , y , z = - 7 3 x - 4 3 y - 2 3 z - 1 ,   1 ,   0 + x 3 + y 3 - z 3 0 ,   1 ,   - 2 + 2 y + 2 x + z 3 ( - 2 ,   3 ,   1 )

Tá, temos uma equação, beleza... mas o que isso quer dizer pra gente? Muito simples, meu jovem Padawan. A gente conseguiu escrever o vetor genérico x ,   y ,   z do R 3 em função dos três vetores que a gente tinha em uma combinação linear. Se os três vetores combinados formam um vetor genérico do R 3 , quer dizer que a combinação deles gera o R 3 , e portanto, em outras palavras, os vetores formam o R 3 . Foi?

O nosso espaço gerado é o R 3 .

Resposta

R 3

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