1. Sejam u = (1,2 , - 1) , v = (3,1 , 0) e w = (0,0 , 2) em R^3 . Calcular:

a) 〈u , u〉 ;

b) 〈u , w〉 ;

c) 〈u , v + w〉 ;

d) 〈u , u〉 ;

e) ‖u + v‖^2 ;

f) ‖u - v‖^2 .

Passo 1

e) aqui nós queremos a norma ao quadrado... Lembrando que a norma de um vetor x :

‖x‖ = sqrt(〈x , x〉)

Então:

‖x‖^2 = 〈x , x〉

Onde:

〈x , x〉 = x_1^2 + x_2^2 + ...

Passo 2

Mas antes de aplicar isso vamos precisar fazer a soma de dois vetores, né...

Considerando:

u = (u_1 , u_2 , u_3)

v = (v_1 , v_2 , v_3)

Somando os dois vetores:

u + v = (u_1 + v_1 , u_2 + v_2 , u_3 + v_3)

Então o módulo ao quadrado fica:

‖u + v‖^2 = (u_1 + v_1)^2 + (u_2 + v_2)^2 + (u_3 + v_3)^2

Passo 3

Substituindo os valores:

‖u + v‖^2 = (1 + 3)^2 + (2 + 1)^2 + (- 1 + 0)^2

‖u + v‖^2 = 26

Resposta

‖u + v‖^2 = 26

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