5. Seja W o sub-espaço do R 4 gerado pelos vetores u 1 = 1,2 , 0,1 , u 2 = 2 , - 1,0 , 0 e u 3 = 0,0 , 1,0 . Calcular a projeção do vetor u sobre W nos seguintes casos: u = 3,1 , 2,2 ; u = 1,2 , 1,1 ; u = 0,0 , 0,1 .

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 2- Ed: 6º - Capítulo 6.1 - Ex. 5b

5. Seja o sub-espaço do gerado pelos vetores , e . Calcular a projeção do vetor sobre nos seguintes casos:

Passo 1

b) Bem... esse exercício é pura aplicação de fórmula, ne...

A fórmula de projeção: (aqui é a projeção sobre um sub-espaço gerado por vetores dados)

ATENÇÃÃÃO: no meio do capítulo ele usa outra fórmula (que não tem a parte de baixo da divisão), mas é porque ele não explica tããão bem que aquela fórmula é só pra vetores que ortonormais (a norma deles é igual a 1), o que não é o caso aqui, né...

E os produtos internos:

Passo 2

Substituindo agora pelos nossos valores.

Fazendo os váááários produtos internos:

Agora é só substituir.

Resposta

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7. Em cada parte, encontre todas as soluções de mínimos quadrados de A x = b → e confirme que todas as soluções têm o mesmo vetor erro. Calcule o erro de mínimos quadrados.(a) A = 2 1 4 2 - 2 1 ; b →

4. Calcular p r o j_g u nos seguintes casos:u = (1,2 , 1,4) e g = (4,0 , 0,1) ; u = (1,1 , 1,1) e g = (2,2 , 2,2) ; u = (4,3 , 5,2 , 5) e g = (1,1 , 1,1 , 1) .

7. Provar que p r o j_g (u_1 + u_2) = p r o j_g u_1 + p r o j_g u_2 . Fazer a figura.

6. Calcular a projeção do vetor x , y , z ∈ R 3 sobre o sub-espaço gerado por 1,0 , 0 e 0,1 , 0 . Fazer uma figura.