Calcular os valores de m e n para que a reta r esteja contida no plano π :

r : x , y , z = t 2 , m , n + n , 2,0 e π : x - 3 y + z = 1

Passo 1

Vamos lá, se uma reta está contida em um plano, temos que o produto escalar do vetor diretor v → da reta com o vetor normal n → do plano deve ser igual a zero:

v → ⋅ n → = 0

Pronto, vamos tirar algumas informações da reta analisando o formato da equação da reta:

r : x , y , z = t a , b , c + x 1 , y 1 , z 1

Aqui temos que o ponto A x 1 , y 1 , z 1 é um ponto que passa pela reta e v → = a , b , c um vetor direção da reta, assim o vetor diretor da reta r é:

v → = 2 , m , n

Passo 2

Agora vamos encontrar o vetor normal do plano, temos que o formato da equação geral de um plano é:

a x + b y + c z + d = 0

Onde n → = a , b , c é o vetor normal do plano, assim temos que o vetor normal do plano π é:

n → = 1 , - 3 , 1

Vamos então calcular o produto escalar:

v → ⋅ n → = 0 → 2 , m , n ⋅ 1 , - 3,1 = 0 → 2 - 3 m + n = 0

Aqui temos uma equação com duas incógnitas, não dá pra resolver, mas aqui temos uma outra informação da reta, o ponto A x 1 , y 1 , z 1 da reta está contido também no plano, então vamos substituir esse ponto n , 2,0 na equação do plano:

x - 3 y + z = 1 → n - 3 ⋅ 2 + 0 = 1 → n - 6 = 1 → n = 6 + 1 → n = 7

Substituindo o valor de n na primeira equação achamos o valor de m :

2 - 3 m + n = 0 → 2 - 3 m + 7 = 0 → - 3 m + 9 = 0 → 3 m = 9 → m = 3

Resposta

m = 3 e n = - 7

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