Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 3.10 - Ex. 13

Mostre que d e t [[[1,1,1],[a,b,c],[a^2,b^2,c^2]]] = ( a - b ) ( b - c ) ( c - a ) .

Passo 1

Nessa questão vamos usar as operações com linhas e nossos conhecimentos de fatoração. O primeiro passo é subtrair a coluna 2 da coluna 1:

|[[1,1,1],[a,b,c],[a^2,b^2,c^2]]| = |[[0,1,1],[a,-,b,b,c],[a^2,-,b^2,b^2,c^2]]|

Depois, vamos subtrair a coluna 3 da coluna 2:

|[[0,1,1],[a,-,b,b,c],[a^2,-,b^2,b^2,c^2]]| = |[[0,0,1],[a,-,b,b,-,c,c],[a^2,-,b^2,b^2,-,c^2,c^2]]|

Passo 2

Vamos agora utilizar nossos conhecimentos de fatoração para fatorar a diferença de quadrados, lembre-se:

a^2 - b^2 = ( a - b ) ( a + b )

Logo:

|[[0,0,1],[a,-,b,b,-,c,c],[a^2,-,b^2,b^2,-,c^2,c^2]]| = |[[0,0,1],[a,-,b,b,-,c,c],[(,a,-,b,),(,a,+,b,),(,b,-,c,),(,b,+,c,),c^2]]|

Passo 3

Das propriedades dos determinantes, podemos retirar o fator comum a uma coluna, vamos fazer isso para as colunas 1 e 2:

|[[0,0,1],[a,-,b,b,-,c,c],[(a - b),(a + b),(b - c),(b + c),c^2]]| =

= ( a - b ) ( b - c ) |[[0,0,1],[1,1,c],[(,a,+,b,),(,b,+,c,),c^2]]|

Passo 4

Usando Laplace na primeira linha, temos:

|[[0,0,1],[1,1,c],[(,a,+,b,),(,b,+,c,),c^2]]| = 1 * (- 1)^(1 + 3) * |[[1,1],[a,+,b,b,+,c]]| = b + c - a - b = c - a

Passo 5

Por fim:

(a - b) (b - c) |[[0,0,1],[1,1,c],[(a + b),(b + c),c^2]]| = (a - b) (b - c) ( c - a )

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use determinantes para decidir se a matriz A = 2 - 7 0 3 2 - 3 7 0 5 - 9 0 é invertível
Use determinantes para decidir se a matriz A = 2 0 0 8 1 0 - 5 3 6 é invertível
Resolva x 1 - 3 x 2 + x 3 = 4 2 x 1 - x 2 = - 2 4 x 1 - 3 x 3 = 0 usando a regra de Cramer, quando aplicável.
Resolva x - 4 y + z = 6 4 x - y + 2 z = - 1 2 x + 2 y - 3 z = - 20 usando a regra de Cramer, quando aplicável.
Encontre os valores de k com os quais A é invertível. A = k - 3 - 2 - 2 k - 2