Mostre que d e t [[[1,1,1],[a,b,c],[a^2,b^2,c^2]]] = ( a - b ) ( b - c ) ( c - a ) .

Passo 1

Nessa questão vamos usar as operações com linhas e nossos conhecimentos de fatoração. O primeiro passo é subtrair a coluna 2 da coluna 1:

|[[1,1,1],[a,b,c],[a^2,b^2,c^2]]| = |[[0,1,1],[a,-,b,b,c],[a^2,-,b^2,b^2,c^2]]|

Depois, vamos subtrair a coluna 3 da coluna 2:

|[[0,1,1],[a,-,b,b,c],[a^2,-,b^2,b^2,c^2]]| = |[[0,0,1],[a,-,b,b,-,c,c],[a^2,-,b^2,b^2,-,c^2,c^2]]|

Passo 2

Vamos agora utilizar nossos conhecimentos de fatoração para fatorar a diferença de quadrados, lembre-se:

a^2 - b^2 = ( a - b ) ( a + b )

Logo:

|[[0,0,1],[a,-,b,b,-,c,c],[a^2,-,b^2,b^2,-,c^2,c^2]]| = |[[0,0,1],[a,-,b,b,-,c,c],[(,a,-,b,),(,a,+,b,),(,b,-,c,),(,b,+,c,),c^2]]|

Passo 3

Das propriedades dos determinantes, podemos retirar o fator comum a uma coluna, vamos fazer isso para as colunas 1 e 2:

|[[0,0,1],[a,-,b,b,-,c,c],[(a - b),(a + b),(b - c),(b + c),c^2]]| =

= ( a - b ) ( b - c ) |[[0,0,1],[1,1,c],[(,a,+,b,),(,b,+,c,),c^2]]|

Passo 4

Usando Laplace na primeira linha, temos:

|[[0,0,1],[1,1,c],[(,a,+,b,),(,b,+,c,),c^2]]| = 1 * (- 1)^(1 + 3) * |[[1,1],[a,+,b,b,+,c]]| = b + c - a - b = c - a

Passo 5

Por fim:

(a - b) (b - c) |[[0,0,1],[1,1,c],[(a + b),(b + c),c^2]]| = (a - b) (b - c) ( c - a )

Resposta

Demonstração.

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