Calcule m e n para que r esteja contida em pi .

a) r : X = (n , 2 , 0) + lambda (2 , m , m) pi : x - 3 y + z = 1

b) r : X = (m , 3 , n) + lambda (1 , 1 , n) pi : n x - n y + m z = 1

Passo 1

a) O vetor diretor da reta é ( 2 , m , m ) , certo?

Vamos usar a proposição 14-21 do seu livro para vermos o valor de m que faz o vetor ser paralelo ao plano:

2 - 3 m + m = 0

2 m = 2

m = 1

Então, para m = 1 , a reta é paralela ao plano, agora precisamos ver quando ela vai estar contida no plano

Passo 2

Um ponto genérico da reta é ( n + 2 lambda , 2 + lambda m , lambda m ) , vamos substituir na equação do plano:

n + 2 lambda - 3 ( 2 + lambda m ) + lambda m = 1

n + 2 lambda - 6 - 3 lambda m + lambda m = 1

n + 2 lambda - 2 lambda m = 7

Como m = 1 :

n + 2 lambda - 2 lambda = 7

n = 7

Então, para que a reta esteja contida no plano, vamos precisar ter m = 1 e n = 7 ;D

Passo 3

b) O vetor diretor da reta é ( 1 , 1 , n ) , certo?

Vamos usar a proposição 14-21 do seu livro para vermos o valor de m que faz o vetor ser paralelo ao plano:

n . 1 - n . 1 + m . n = 0

m . n = 0

Então, para m = 0 ou n = 0 , a reta é paralela ao plano, agora precisamos ver quando ela vai estar contida no plano

Passo 4

Um ponto genérico da reta é ( m + lambda , 3 + lambda , n + lambda n ) , vamos substituir na equação do plano:

n ( m + lambda ) - n ( 3 + lambda ) + m ( n + lambda n ) = 1

Vamos testar os dois valores que fazem a reta ser paralela ao plano, para vermos quando ela vai estar contida nele:

Se m = 0 :

lambda n - 3 n + lambda n = 1

2 lambda n - 3 n = 1

n . (2 lambda - 3) = 1

n pode assumir qualquer valor, dependendo do valor de lambda

Para n = 0 :

0 = 1

Como a gente chegou em uma desigualdade, para n = 0 a reta não está contida no plano nunca beleza?

Resposta

a) m = 1 e n = 7

b) m = 0 e n pode assumir qualquer valor

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