Sejam r : X = n ,   2 ,   0 + λ ( 2 ,   m ,   n ) e π : n x - 3 y + z = 1 . Usando, em cada caso, a informação dada, obtenha condições sobre m e n .

a) r e π são paralelos.

b) r e π são transversais.

c) r está contida em π .

Passo 1

a) O vetor diretor da reta é ( 2 ,   m ,   n ) , certo?

Vamos usar a proposição 14-21 do seu livro para vermos o valor de m que faz o vetor ser paralelo ao plano:

n . 2 - 3 . m + n = 0

3 n - 3 m = 0

3 n = 3 m

m = n

Então, para m = n , a reta é paralela ao plano :)

Ah, na letra C) vamos ver isso direitinho, mas quando

n = ± 7

As retas estarão contidas no plano. Beleza?!

Passo 2

b) O vetor diretor da reta é ( 2 ,   m ,   n ) , certo?

Vamos usar a proposição 14-21 do seu livro para vermos o valor de m que faz o vetor ser transversal ao plano:

n . 2 - 3 . m + n ≠ 0

3 n - 3 m ≠ 0

3 n ≠ 3 m

m ≠ n

Então, para m ≠ n , a reta é paralela ao plano :)

Passo 3

c) Para r estar contida em π , temos primeiramente que eles devem ser paralelos, ou seja, m = n . Além disso, o ponto n ,   2 ,   0 de r deve pertencer ao plano. Vamos substituir esse ponto na equação do plano e aí encontramos as condições, fechou?

n . n - 3.2 + 0 = 1

n 2 = 7

n = ± 7

Então, para m = n = ± 7 , a reta está contida no plano ;)

Resposta

a) m = n

b) m ≠ n

c) m = n = ± 7

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