Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 16.Exercício - Ex. 24

Obtenha uma equação geral do plano π que contém r : x + 2 z + 1 = y = 1 e é transversal aos eixos coordenados, interceptando-os em pontos que são vértices de um triângulo de área 3 2 . Quais são as coordenadas desses vértices? O sistema de coordenadas é ortogonal.

Passo 1

Primeiro vamos transformar r em equações planares ok?

Da equação de r , temos

λ = x + 2 z + 1 λ = y λ = 1

Temos que remover o parâmetro λ para chegarmos nas equações planares. Substituindo λ = 1 nas duas primeiras equações, chegamos em:

x + 2 z = 0 y = 1

Então r é a intersecção desses dois planos.

Uma equação do feixe de planos, ou seja, uma equação genérica para todos os planos que contêm a reta r é

α x + 2 z + β . y - 1 = 0

Então, multiplicando e agrupando os termos, uma equação geral de π tem o formato

α x + β y + 2 α z - β = 0

Passo 2

Como os vértices do triângulo que esse plano forma estão nos eixos coordenados, eles têm o formato:

A = ( x ,   0 ,   0 )

B = 0 ,   y ,   0

C = ( 0 ,   0 ,   z )

Mas eles pertencem ao plano π , então podem ser substituídos na equação do plano, aí vamos obter as relações:

A :   α x + β . 0 + 2 α . 0 - β = 0 → x = β α

B :   α . 0 + β y + 2 α . 0 - β = 0 → y = β β = 1

C :   α . 0 + β . 0 + 2 α z - β = 0 → z = β 2 α

Então, podemos escrever nossos vértices como

A = β α ,   0 ,   0                     B = 0 ,   1 ,   0                   C = 0 ,   0 , β 2 α

Passo 3

Sabemos que a área do triângulo é dada por A = A B → ∧ A C → 2 , então, sabendo que

A B → = B - A = - β α ,   1 ,   0

A C → = C - A = - β α ,   0 ,   β 2 α

Vamos calcular A B → ∧ A C → 2 e igualar a 3 2 , que é a área do triângulo pelo que o enunciado nos disse hahaha

Passo 4

Vamos lá:

A B → ∧ A C → 2 = 3 2

- β α ,   1 ,   0 ∧ - β α ,   0 ,   β 2 α = 3

β 2 α , β 2 2 α 2 , β α = 3

Calculando o módulo do vetor:

β 2 α 2 + β 2 2 α 2 2 + β α 2 = 3

Resolvendo essa equação, encontramos β = ± 2 α

Passo 5

Substituindo a relação que encontramos nos vértices do triângulo:

A = ± 2 α α ,   0 ,   0                   B = 0 ,   1 ,   0                   C = 0 ,   0 , ± 2 α 2 α

Então temos duas opções para os vértices A e C , olha só:

A ' = 2 ,   0 ,   0 ,   A ' ' = ( - 2 ,   0 ,   0 )

C ' = 0 ,   0 ,   1 ,   C ' ' = ( 0 ,   0 ,   - 1 )

Passo 6

O vetor normal do nosso plano é o produto vetorial dos vetores diretores dele, igual fizemos lá no passo 4, isso resultou em

n → = β 2 α , β 2 2 α 2 , β α

Substituindo nossa relação do passo 5:

n → = 2 α 2 α , ( 2 α ) ² 2 α 2 , 2 α α = ( 1 ,   2 ,   2 )

Logo, a equação do plano pode ser dada como

1 x + 2 y + 2 z + d = 0

Para encontramos o valor de d , primeiro vamos substituir o vértice A ' :

1.2 + 2.0 + 2.0 + d = 0 → d = - 2

Agora vamos substituir A ' ' :

1 . ( - 2 ) + 2.0 + 2.0 + d = 0 → d = 2

Então as nossas duas opções de plano são:

π ' :   1 x + 2 y + 2 z - 2 = 0   |   A ' = 2 ,   0 ,   0 ,   B = 0 ,   1 ,   0 ,   C ' = ( 0 ,   0 ,   1 )

π ' ' :   1 x + 2 y + 2 z + 2 = 0   |   A ' ' = - 2 ,   0 ,   0 ,   B = 0 ,   1 ,   0 ,   C ' = ( 0 ,   0 ,   - 1 )

Resposta

π ' :   1 x + 2 y + 2 z - 2 = 0   |   A ' = 2 ,   0 ,   0 ,   B = 0 ,   1 ,   0 ,   C ' = ( 0 ,   0 ,   1 )

π ' ' :   1 x + 2 y + 2 z + 2 = 0   |   A ' ' = - 2 ,   0 ,   0 ,   B = 0 ,   1 ,   0 ,   C ' = ( 0 ,   0 ,   - 1 )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Dados o plano π : 2 x - y - 2 z - 3 = 0 e o ponto A = - 4,6 , 5 , pedem-se:(a)equações da reta r que passa por A e é perpendicular ao plano π ; (b) as coordenadas do ponto de interseção entre r e π ;(
Escreva uma equação cartesiana do plano determinado pelo ponto ( 1,2 , 1 ) e pela reta x - 1 2 = y - 1 - 1 = z
Calcule as coordenadas do ponto A ' , projeção ortogonal de A = 4,0 , 2 sobre o plano 3 x - y - z + 23 = 0
Dados os pontos A = 1,1 , 3eB = ( 1,3 , 1 ) , ache uma equação do plano ortogonal ao segmento A B e passando pelo seu ponto médio.
Dados A = (1, 2, 3) e B = (4, 5, 6), determine os pontos em que a reta AB corta os planos Πxy, Πxz e Πyz.