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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 26.Exercício - Ex. 15c

Obtenha uma equação da superfície gerada pela rotação de Γ = Ω 1 ∩ Ω 2 em torno de O z .

(c) Ω 1 : y = 0                     Ω 2 : ( x - 2 ) 2 + ( z - 1 ) 2 = 1

Passo 1

Devemos obter uma equação da superfície gerada pela rotação da curva em torno de um eixo dado, certo?

A curva que queremos rotacionar é dada pela interseção Ω 1 ∩ Ω 2 , que é uma cônica. Vamos fazer a representação gráfica dela:

Passo 2

Pela observação 26.9, temos que:

f x 2 + y 2 , z = 0

Trazendo para o nosso exercício, temos que:

f x , z = x 2 + z 2 - 1 = 0

                                            ⇒ f x 2 + y 2 , z = 0

                                                                                                          ⇒ x 2 + y 2 - 2 2 + ( z - 1 ) 2 - 1 = 0

                                                                                                                          ⇒ x 2 + y 2 - 4 x 2 + y 2 + 3 + z - 1 2 = 0

                                                                                          ⇒ 4 x 2 + y 2 = x 2 + y 2 + 3 + z - 1 2

                                                                                                          ⇒ 16 x 2 + y 2 = x 2 + y 2 + z - 1 2 + 3 2

Portanto, encontramos que a equação da superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo O z é 16 x 2 + y 2 = x 2 + y 2 + z - 1 2 + 3 2 .

Resposta

16 x 2 + y 2 = x 2 + y 2 + z - 1 2 + 3 2

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