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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 18.Exercício - Ex. 1f

Obtenha uma equação vetorial da reta t que contém P e é concorrente com r e s .

r : ( x - 1 ) / 2 = y = z + 1 , s : X = 1 ,   2 ,   - 1 + λ   ( - 1 ,   0 ,   3 ) e P é o ponto simétrico do ponto ( 0 ,   1 ,   0 ) em relação à reta interseção dos planos π 1 : x + y + z = 4 e π 2 : x - y + z = 0 .

Passo 1

Nós queremos achar uma reta que contenha P e seja concorrente a r e s .

O problema fica muito mais simples se escrevemos as retas r e s na forma vetorial. Para nossa sorte, a reta s já está nessa forma e a reta r é dada na forma simétrica:

x - x 0 a = y - y 0 b = z - z 0 c

Assim, a reta r é dada por

X = x 0 ,   y 0 ,   z 0 + μ   a ,   b ,   c = 1 ,   0 ,   - 1 + μ   ( 2 ,   1 ,   1 )

Um ponto genérico A pertencendo a reta r deve satisfazer

A = ( 1 + 2 μ ,   μ ,   - 1 + μ )

Já um ponto B pertencendo a reta s deve satisfazer

B = 1 - λ ,   2 ,   - 1 + 3 λ

Passo 2

Agora temos que achar o ponto P , simétrico do ponto ( 0 ,   1 ,   0 ) em relação à reta interseção dos planos π 1 : x + y + z = 4 e π 2 : x - y + z = 0 .

Vamos achar primeiro a reta intereseção dos planos π 1 e π 2 :

x + y + z = 4 x - y + z = 0

Fazendo a primeira equação menos a segunda:

2 y = 4 ⇒ y = 2

Assim,

x + z = 2 ⇒ z = 2 - x

Portanto, um ponto nessa reta é dado por

x ,   y ,   z = x ,   2 ,   2 - x = 0 ,   2 ,   2 + x   ( 1 ,   0 ,   - 1 )

Agora vamos olhar para o ponto C = ( 0 ,   1 ,   0 ) e um ponto X = ( x ,   2 ,   2 - x ) pertecendo a reta que seja a projeção ortogonal de C sobre a reta. O vetor   C X → deve ser ortogonal ao vetor diretor da reta ( 1 ,   0 ,   - 1 ) :

C X → ⋅ 1 ,   0 ,   - 1 = 0

Assim,

x ,   1 ,   2 - x ⋅ 1 ,   0 ,   - 1 = 0 ⇒ x - 2 + x = 0 ⇒ x = 1

Portanto,

X = ( 1 ,   2 ,   1 )

Como P é o simétrico de C com relação a reta, X deve ser o ponto médtio entre P e C :

X = P + C 2 ⇒ P = 2 X - C = 2 ,   4 ,   2 - 0 ,   1 ,   0 = ( 2 ,   3 ,   2 )

Passo 3

Para que a reta t seja concorrente com as retas r e s , ela deve intercepta-las. Vamos supor que esse pontos são A e B , respectivamente. Assim, P ,   A e B devem ser colineares. Portanto,

P A → = k   P B →

Os vetores são dados por

P A → = A - P = ( 2 μ - 1 ,   μ - 3 ,   μ - 3 )

P B → = B - P = ( - λ - 1 ,   - 1 ,   3 λ - 3 )

Assim,

( 2 μ - 1 ,   μ - 3 ,   μ - 3 ) = k   ( - λ - 1 ,   - 1 ,   3 λ - 3 )

Portanto,

2 μ - 1 = - k ( λ + 1 ) μ - 3 = - k μ - 3 = 3 k ( λ - 1 )

Passo 4

Da segunda equação tiramos que

μ - 3 = - k

Substituindo na terceira:

- k = 3 k ( λ - 1 )

Supondo k ≠ 0 :

- 1 = 3 λ - 3 ⇒ 3 λ = 2 ⇒ λ = 2 3

Assim,

2 μ - 1 = - 5 k 3 μ - 3 = - k ⇒ 6 μ - 3 = - 5 k μ - 3 = - k

Logo,

6 μ - 3 = 5 μ - 3 ⇒ 6 μ - 3 = 5 μ - 15 ⇒ μ = - 12

Portanto,

A = - 23 ,   - 12 ,   - 13             e             B = 1 3 ,   2 ,   1

Para achar o vetor diretor da reta t , vamos usar o ponto B :

u → = B P → = 2 ,   3 ,   2 - 1 3 ,   2 ,   1 = 5 3 ,   1 ,   1 = 1 3 ( 5 ,   3 ,   3 )

Por simplicidade, vamos usar u → = ( 5 ,   3 ,   3 ) de modo que

X = 2 ,   3 ,   2 + λ   ( 5 ,   3 ,   3 )

Resposta

X = 2 ,   3 ,   2 + λ   ( 5 ,   3 ,   3 )

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