Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 18.Exercício - Ex. 1f
Obtenha uma equação vetorial da reta que contém e é concorrente com e .
, e é o ponto simétrico do ponto em relação à reta interseção dos planos e .
Passo 1
Nós queremos achar uma reta que contenha e seja concorrente a e .
O problema fica muito mais simples se escrevemos as retas e na forma vetorial. Para nossa sorte, a reta já está nessa forma e a reta é dada na forma simétrica:
Assim, a reta é dada por
Um ponto genérico pertencendo a reta deve satisfazer
Já um ponto pertencendo a reta deve satisfazer
Passo 2
Agora temos que achar o ponto , simétrico do ponto em relação à reta interseção dos planos e .
Vamos achar primeiro a reta intereseção dos planos e :
Fazendo a primeira equação menos a segunda:
Assim,
Portanto, um ponto nessa reta é dado por
Agora vamos olhar para o ponto e um ponto pertecendo a reta que seja a projeção ortogonal de sobre a reta. O vetor deve ser ortogonal ao vetor diretor da reta :
Assim,
Portanto,
Como é o simétrico de com relação a reta, deve ser o ponto médtio entre e :
Passo 3
Para que a reta seja concorrente com as retas e , ela deve intercepta-las. Vamos supor que esse pontos são e , respectivamente. Assim, e devem ser colineares. Portanto,
Os vetores são dados por
Assim,
Portanto,
Passo 4
Da segunda equação tiramos que
Substituindo na terceira:
Supondo :
Assim,
Logo,
Portanto,
Para achar o vetor diretor da reta , vamos usar o ponto :
Por simplicidade, vamos usar de modo que