a) Dados A = ( 2 ,   5 ,   3 ) e B = ( 1 ,   1 ,   0 ) , calvule as coordenadas dos pontos C e D , que determinam em A B três segmentos congruentes.

b) Sejam A = ( x 1 ,   y 1 ,   z 1 ) , B = ( x 2 ,   y 2 ,   z 2 ) e X o ponto que divide A B na razão r . Calcule as coordenadas de X em função de r e das coordenadas de A e B .

Passo 1

Vamos focar primeiro no item (a), com a imagem

Devemos ter

A C → = 1 3   A B →

Assim,

C = A + 1 3   A B →

Como   A B → = 1 ,   1 ,   0 - 2 ,   5 ,   3 = ( - 1 ,   - 4 ,   - 3 ) , temos que

C = 2 ,   5 ,   3 + 1 3   ( - 1 ,   - 4 ,   - 3 )

Portanto,

C = 5 3 , 11 3 ,   2

Passo 2

Para achar D a única mudança é

D = A + 2 3   A B → = 2 ,   5 ,   3 + 2 3   - 1 ,   - 4 ,   - 3

Assim,

D = 4 3 , 7 3 ,   1

Passo 3

Agora vamos para o item (b). Queremos achar o ponto X que divide A B na razão r :

A X → = r r + 1   A B → ⇒ X = A + r r + 1   A B →

Portanto,

X = x 1 ,   y 1 ,   z 1 + r r + 1   ( x 2 - x 1 ,   y 2 - y 1 ,   z 2 - z 1 )

Assim,

X = x 1 + r x 2 1 + r ,   y 1 + r y 2 1 + r ,   z 1 + r z 2 1 + r

Resposta

C = 5 3 , 11 3 ,   2

D = 4 3 , 7 3 ,   1

X = x 1 + r x 2 1 + r ,   y 1 + r y 2 1 + r ,   z 1 + r z 2 1 + r

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