Sejam A = ( 1 ,6 ,4 ) , B = ( 2 ,- 1 ,9 ) , C = ( 1 ,1 ,- 1 ) e D = ( 1 ,1 ,a ) . Para que valores de a esses pontos são vértices de um quadrilátero? Este quadrilátero é plano ou reverso?

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 13.Exercício - Ex. 12

Sejam , , e . Para que valores de esses pontos são vértices de um quadrilátero? Este quadrilátero é plano ou reverso?

Passo 1

Para que os pontos sejam vértices de um quadrilátero, três deles devem ser sempre não-colineares. Assim, devemos impor que:

e não são colineares, e não são colineares, e não são colineares e e não são colineares. Essas condições são equivalentes a: é LI, é LI, é LI e é LI. Vamos verificar isso!

Naturalmente vemos que é LI, assim como . Isso pode ser visto pois a primeira coordenada de não é nula, enquanto as primeiroas coordenadas de e são.

Para que seja LI, devemos ter

Da mesma forma, para que seja LI, devemos ter

Assim, a condição para que esses quatro pontos sejam vértices de um quadrilátero é

Passo 2

Respeitada essa condição, vamos verificar se o quadrilátero é plano ou reverso. Para isso, vamos ver se o conjunto é LD ou LI:

Como , esse determinante é diferente de . Sendo assim, o conjunto é LI, de modo que o quadrilátero é reverso!

Resposta

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a expressão dada com u = (- 2 , - 1 , 4 , 5) , v = (3 , 1 , - 5 , 7) , w = ( - 6 , 2 , 1 , 1 ) . ‖3 xx u - 5 xx v + w‖ ‖3 xx u‖ - 5 xx ‖v‖ + ‖w‖ ‖- ‖u‖ xx v‖

Calcule a expressão dada com u = (- 2 , - 1 , 4 , 5) , v = (3 , 1 , - 5 , 7) , w = ( - 6 , 2 , 1 , 1 ) . ‖u‖ - 2 xx ‖v‖ - 3 xx ‖w‖ ‖u‖ + ‖- 2 v‖ + ‖- 3 w‖ ‖‖u - v‖ xx w‖

Calcule a expressão dada com u = (2 , - 2,3) , v = (1 , - 3 , 4) , w = (3 , 6 , - 4) . ‖u + v‖ .‖u‖ + ‖v‖ .‖- 2 xx u + 2 xx v‖ ‖3 xx u - 5 xx v + w‖

Deduza as equações da rotação de θ radianos, em sentido anti-horário, do sistema ortogonal Σ = O , e → 1 , e → 2 , e → 3 em torno de O x , e também em torno de O y (Figura 21-5).Interprete as equações

Em cada parte, encontre o vetor de coordenadas de w em relação à base S={ u 1 ,u 2 } .(b) u 1 = 1 ,- 1 ;u 2 =1 ,1 ,w = 1 ,1 .