Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 13.Exercício - Ex. 12

Sejam , , e . Para que valores de esses pontos são vértices de um quadrilátero? Este quadrilátero é plano ou reverso?

Passo 1

Para que os pontos sejam vértices de um quadrilátero, três deles devem ser sempre não-colineares. Assim, devemos impor que:

e não são colineares, e não são colineares, e não são colineares e e não são colineares. Essas condições são equivalentes a: é LI, é LI, é LI e é LI. Vamos verificar isso!

Naturalmente vemos que é LI, assim como . Isso pode ser visto pois a primeira coordenada de não é nula, enquanto as primeiroas coordenadas de e são.

Para que seja LI, devemos ter

Da mesma forma, para que seja LI, devemos ter

Assim, a condição para que esses quatro pontos sejam vértices de um quadrilátero é

Passo 2

Respeitada essa condição, vamos verificar se o quadrilátero é plano ou reverso. Para isso, vamos ver se o conjunto é LD ou LI:

Como , esse determinante é diferente de . Sendo assim, o conjunto é LI, de modo que o quadrilátero é reverso!

Resposta

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Calcule a expressão dada com u = - 2 ,- 1 ,4 ,5 ,v = 3 ,1 ,- 5 ,7 ,w = ( - 6 ,2 ,1 ,1 ) . 3 × u - 5 × v + w 3 × u - 5 × v + w - u × v

Calcule a expressão dada com u = - 2 ,- 1 ,4 ,5 ,v = 3 ,1 ,- 5 ,7 ,w = ( - 6 ,2 ,1 ,1 ) . u - 2 × v - 3 × w u + - 2 v + - 3 w u - v × w

Calcule a expressão dada com u = 2 ,- 2,3 ,v = 1 ,- 3 ,4 ,w = 3 ,6 ,- 4 . u + v . u + v . - 2 × u + 2 × v 3 × u - 5 × v + w

Deduza as equações da rotação de θ radianos, em sentido anti-horário, do sistema ortogonal Σ = O , e → 1 , e → 2 , e → 3 em torno de O x , e também em torno de O y (Figura 21-5).Interprete as equações

Em cada parte, encontre o vetor de coordenadas de w em relação à base S={ u 1 ,u 2 } .(b) u 1 = 1 ,- 1 ;u 2 =1 ,1 ,w = 1 ,1 .