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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 16.Exercício - Ex. 1b

Estude a posição relativa das retas r e s

b) r : {[[x - y - z = 2],[x + y - z = 0]]) s : {[[2 x - 3 y + z = 5],[x + y - 2 z = 0]])

Passo 1

Primeiro vamos encontrar a reta r :

r : {[[x - y - z = 2],[x + y - z = 0]])

Somando as duas equações:

2 x - 2 z = 2

Dividindo tudo por 2:

x = z + 1

Substituindo na segunda equação:

z + 1 + y - z = 0

y = - 1

Então a reta é assim:

(x , y , z) = ( z + 1 , - 1 , z )

(x , y , z) = (1 , - 1 , 0) + lambda ( 1 , 0 , 1 )

Passo 2

Agora vamos encontrar a reta s :

s : {[[2 x - 3 y + z = 5],[x + y - 2 z = 0]])

Multiplicando a primeira equação por 2 :

s : {[[4 x - 6 y + 2 z = 10],[x + y - 2 z = 0]])

Somando as duas equações:

5 x - 5 y = 10

x - y = 2

x = y + 2

Substituindo na segunda equação:

y + 2 + y - 2 z = 0

2 y + 2 = 2 z

z = y + 1

Então, a reta é assim:

(x , y , z) = (y + 2 , y , y + 1)

(x , y , z) = (2 , 0 , 1) + lambda (1 , 1 , 1)

Passo 3

Os vetores diretores de r e s são LI, então as retas são concorrentes ou reversas.

Sendo A = ( 1 , - 1 , 0 ) , B = ( 2 , 0 , 1 ) e vec A B = B - A = ( 1 , 1 , 1 ) , vamos calcular o determinante com as linhas vec r , vec s , vec A B :

|[[1,0,1],[1,1,1],[1,1,1]]| = 0

Como o determinante é 0, as retas são concorrentes :)

Resposta

b) Concorrentes.

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