Estude a posição relativa das retas r e s

a) r : X = (1 , - 1 , 1) + lambda (- 2 , 1 , - 1) s : {[[y + z = 3],[x + y - z = 6]])

Passo 1

Primeiro vamos encontrar a reta s :

s : {[[y + z = 3],[x + y - z = 6]])

Somando as duas equações:

x + 2 y = 9

x = - 2 y + 9

Substituindo na segunda equação:

- 2 y + 9 + y - z = 6

z = - y + 3

Então a reta s é:

(x , y , z) = ( - 2 y + 9 , y , - y + 3 )

(x , y , z) = (9 , 0 , 3) + lambda ( - 2 , 1 , - 1 )

Passo 2

O vetor diretor de r é ( - 2 , 1 , - 1 ) , que é também o vetor diretor de s .

Logo, as retas são paralelas, agora, basta descobrirmos se elas são distintas ou coincidentes.

Para isso, vamos ver se o ponto ( 9 , 0 , 3 ) de s pertence à reta r :

(9 , 0 , 3) = (1 , - 1 , 1) + lambda (- 2 , 1 , - 1)

(9 , 0 , 3) = ( 1 - 2 lambda , - 1 + lambda , 1 - lambda )

Igualando as coordenadas:

{[[1 - 2 lambda = 9],[- 1 + lambda = 0],[1 - lambda = 3]])

Da primeira equação, temos lambda = - 4 , da segunda temos lambda = 1 e da terceira lambda = - 2 .

Como encontramos valores diferentes para lambda , o sistema não possui solução e então o ponto ( 9 , 0 , 3 ) não pertence à reta r .

Logo, as retas são paralelas distintas fechou?

Resposta

a) Paralelas distintas.

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