No exercício 16-1, obtenha, quando for o caso, uma equação geral do plano determinado pelas retas r e s .

Passo 1

As retas vão formar um plano quando forem paralelas distintas ou quando forem concorrentes certo? Então vamos encontrar os planos para as letras a, b, e, f.

Passo 2

Na letra a, o vetor normal do plano que queremos vai ser dado pelo produto vetorial do vetor diretor das retas com o vetor A B →   que liga seus pontos B = ( 1 ,   - 1 ,   1 ) e A = ( 9 ,   0 ,   3 ) .

Tendo A B → = B - A = ( - 8 ,   - 1 ,   - 2 ) :

- 8 ,   - 1 ,   - 2 ∧ - 2 ,   1 ,   - 1 = ( 3 ,   - 4 ,   - 10 )

Então a equação do plano pode ser escrita assim:

3 x - 4 y - 10 z + d = 0

Para encontrarmos d , vamos substituir o ponto ( 1 ,   - 1 ,   1 ) da reta r na equação:

3 . 1 - 4 ( - 1 ) - 10 . 1 + d = 0

d = 3

Logo:

3 x - 4 y - 10 z + 3 = 0

Passo 3

Na letra b, o vetor normal do plano que queremos vai ser dado pelo produto vetorial dos vetores diretores das retas:

1 ,   0 ,   1 ∧ 1 ,   1 ,   1 = ( - 1 ,   0 ,   1 )

Então a equação do plano pode ser escrita assim:

- x + 0 y + z + d = 0

Para encontrarmos d , vamos substituir o ponto ( 1 ,   - 1 ,   0 ) da reta r na equação:

- 1 + 0 + d = 0

d = 1

Logo:

- x + z + 1 = 0

Passo 4

Na letra e, o vetor normal do plano que queremos vai ser dado pelo produto vetorial dos vetores diretores das retas:

2 ,   - 1 ,   3 ∧ 1 ,   - 2 ,   2 = ( 4 ,   - 1 ,   - 3 )

Então a equação do plano pode ser escrita assim:

4 x - y - 3 z + d = 0

Para encontrarmos d , vamos substituir o ponto ( 8 ,   1 ,   9 ) da reta r na equação:

4 . 8 - 1 - 3 . 9 + d = 0

d = - 4

Logo:

4 x - y - 3 z - 4 = 0

Passo 5

Na letra f, o vetor normal do plano que queremos vai ser dado pelo produto vetorial dos vetores diretores das retas:

3 ,   3 ,   5 ∧ 1 ,   - 1 ,   4 = ( 17 ,   - 7 ,   - 6 )

Então a equação do plano pode ser escrita assim:

17 x - 7 y - 6 z + d = 0

Para encontrarmos d , vamos substituir o ponto ( 0 ,   0 ,   1 ) da reta s na equação:

17 . 0 - 7 . 0 - 6 . 1 + d = 0

d = 6

Logo:

17 x - 7 y - 6 z + 6 = 0

Resposta

a) 4 y + 4 z = 0

b) - x + z + 1 = 0

e) 4 x - y - 3 z - 4 = 0

f) 17 x - 7 y - 6 z + 6 = 0

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