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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 18.Exercício - Ex. 37

Dados r : x + 2 y + 2 z = 3 = x + z , P = 2,1 , 4 e s : x - 3 = y + 1 = ( z + 6 ) / 2 , seja Q a projeção ortogonal de P sobre r (SO). Obtenha o ponto A de s tal que a área do triângulo P Q A seja 9.

Passo 1

Antes de começar a discutir as operações que temos de fazer, vamos escrever uma equação vetorial para a reta r e para a reta s . Começando por r , temos:

r : x + 2 y + 2 z = x + z x + z = 3 ⟹ r : y = - z 2 x = 3 - z

Portanto, a equação vetorial de r é:

r : X = x , y , z

r : X = 3 - z , - z 2 , z

r : X = 3,0 , 0 + - z , - z 2 , z

r : X = 3,0 , 0 + z - 1 , - 1 2 , 1

Ou simplesmente,

r : X = 3,0 , 0 + λ - 2 , - 1,2

Repetindo o mesmo procedimento para a reta s , temos:

s : x - 3 = y + 1 y + 1 = z + 6 2 ⟹ s : x = y + 4 z = 2 y - 4

Portanto, a equação vetorial de s é:

s : X = x , y , z

s : X = y + 4 , y , 2 y - 4

s : X = 4,0 , - 4 + y , y , 2 y

s : X = 4,0 , - 4 + y 1,1 , 2

s : X = 4,0 , - 4 + λ 1,1 , 2

Passo 2

Nosso primeiro trabalho será descobrir o ponto Q , dado pela projeção ortogonal de P na reta r . Seja A = 3,0 , 0 um ponto de r , então,

Q = A + p r o j r → A P →

Q = A + A P → ⋅ r → | | r → | | 2 ⋅ r →

Q = 3,0 , 0 + - 1,1 , 4 ⋅ - 2 , - 1,2 2 2 + 1 2 + 2 2 2 ⋅ - 2 , - 1,2

Q = 3,0 , 0 + 9 9 ⋅ - 2 , - 1,2

Q = 1 , - 1,2

Passo 3

Agora que temos o ponto Q e o ponto P , só nos resta descobrir o ponto A que pertence a reta s . Portanto, existe algum valor de λ que satisfaz a seguinte relação: A = 4 + λ , λ , - 4 + 2 λ .

Agora, temos que descobrir qual o valor de λ que nos dará um triângulo PQA de área 9.

Sabemos que a área de um triângulo pode ser calculado por:

Á r e a = | | P Q → ∧ P A → | | 2 = 9

Portanto,

| | P Q → ∧ P A → | | = 18

Então, precisamos fazer o produto vetorial de P Q → e P A → , calcular a sua norma e depois igualar a 18. Então, começando determinando estes vetores, temos:

P Q → = Q - P = 1 , - 1,2 - 2,1 , 4 = - 1 , - 2 , - 2

P A → = A - P = 4 + λ , λ , - 4 + 2 λ - 2,1 , 4 = 2 + λ , λ - 1 , - 8 + 2 λ

Calculando o produto vetorial, temos:

P Q → ∧ P A → = i j k - 1 - 2 - 2 2 + λ λ - 1 - 8 + 2 λ = 14 - 2 λ , - 12,5 + λ

Então, voltando a relação da norma do produto vetorial, temos:

14 - 2 λ 2 + - 12 2 + 5 + λ 2 = 18

14 - 2 λ 2 + - 12 2 + 5 + λ 2 = 324

196 - 56 λ + 4 λ 2 + 144 + 25 + 10 λ + λ 2 = 324

5 λ 2 - 46 λ + 41 = 0

Resolvendo a equação acima, vamos obter λ 1 = 41 5 e λ 2 = 1 .

Para λ 1 obtemos:

A 1 = 4 + λ , λ , - 4 + 2 λ = 61 5 , 41 5 , 62 5

Para λ 2 obtemos:

A 2 = 4 + λ , λ , - 4 + 2 λ = 5,1 , - 2

E assim finalizamos a questão!

Resposta

A 1 = 61 5 , 41 5 , 62 5

A 2 = 5,1 , - 2

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Obtenha a equação geral do plano que contém a reta r : X = 1 ,1 ,0 + λ( 2 ,1 ,2 ) e é paralelo a s :( x + 1 ) / 2 = y = z + 3 .
Um hexágono regular contido em π : x + y + z - 3 = 0 tem centro H = ( 1 ,1 ,1 ) e seu lado mede 2 . Determine seus vértices sabendo que dois deles pertencem a r : X = 1 ,1 ,1 + λ( 1 ,0 ,- 1 ) .
Existe uma reta paralela a π : X = 0 ,0 ,0 + λ1 ,- 1 ,- 1 + μ( 3 ,0 ,- 1 ) , que contenha P = ( 2 ,2 ,1 ) e seja concorrete com r : X = 1 ,0 ,0 + γ( 2 ,1 ,0 ) ? Por quê?
Determine a projeção do ponto P = ( 1 ,4 ,0 ) sobre o plano π : x + y - 2 z + 1 = 0 , paralelamente à reta r : X = 0 ,0 ,0 + λ( 1 ,4 ,1 ) .
Sejam A = ( 2 ,1 ,1 ) , B = ( - 1 ,0 ,1 ) , C = ( 0 ,2 ,1 ) e π : X = 2 ,4 ,0 + α- 1 ,1 ,1 + β( - 2 ,- 1 ,0 ) . Prove que o lugar geométrico dos pontos X do plano π tais que o tetraedro tem volume 1 é