Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 18.Exercício - Ex. 42
Uma pirâmide tem por base um retângulo ABCD e seu vértice projeta-se ortogonalmente sobre o centro da base. A face PAB está contida em e a face PCD, em . Determine B, C e D, sabendo que e que o ponto pertence ao plano da base (SO).
Passo 1
Então, para resolvermos a questão, vamos começar determinando a interseção dos planos e . Mas qual o motivo de fazermos isto?
A interseção será uma reta, e esta reta será paralela aos lados e , pela base ser um retângulo. Conseguem visualizar agora?
Com uma reta, temos o seu vetor diretor. Então, podemos escrever a reta que passa por e tem este vetor direito. Depois, vamos descobrir as coordenadas do ponto , que pertence a esta reta, e satisfaz .
Estão relação de distância retiramos exatamente da geometria da pirâmide. Como o seu vértice (o pico da nossa pirâmide) projeta-se exatamente no centro da base, significa dizer que as arestas , , e possuem o mesmo comprimento!
E para descobrir as coordenadas de e ? Vai ser parecido como o procedimento anterior. Só que nos precisamos descobrir quem é esta reta antes. Para isto, vamos compor o plano da base, que contém o retângulo , e fazer a sua interseção com .
Sacaram? Podemos ir as contas então!
Passo 2
Vamos começar descobrindo a reta interseção de e . Portanto,
Portanto, se um ponto pertence a reta, temos:
E obtemos uma reta com vetor diretor .
Passo 3
Agora, vamos compor a reta que passa por e tem como vetor diretor . Esta reta será:
Então, se um ponto pertence a esta reta, ele pode ser reescrito por . Agora, vamos descobrir qual o valor de que satisfaz:
Logo,
A equação acima nos dá duas soluções: e . Para , temos exatamente o ponto . Já para a outra solução, temos . Assim, descobrimos o nosso primeiro vértice.
Passo 4
Agora, vamos precisar determinar inicialmente o plano que contém o quadrado . Para isto, vamos determinar o vetor normal ao plano, o qual contém os pontos , e . Então,
Portanto, o plano possui o seguinte formato:
Para descobrirmos o valor de , basta substituirmos as coordenadas do ponto . Então,
Portanto, temos o plano .
Passo 5
Agora, vamos determinar a reta interseção entre o plano , que descobrimos no final do Passo 4, e o plano . Portanto,
Portanto, se um ponto pertence a reta, temos:
O formato acima da reta já nos é suficiente para finalizarmos a questão. Queremos descobrir quais os valores de tais que .
É exatamente o mesmo procedimento que fizemos anteriormente, para descobrir . A diferença é que, agora, iremos obter dois pontos novos. Eles serão e (não importa trocarmos as coordenadas de com , até porque a questão não nos restringiu.
Sendo assim, temos:
Incrivelmente, é a mesma equação do segundo grau que obtivemos anteriormente. Portanto, para , temos . Já para , temos .