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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 2.2 - Ex. 21

Mostre que o determinante de Vandermonde e dado por V n = d e t 1 x 1 x 1 2 … x 1 n - 1   1 x 2 x 2 2 … x 2 n - 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 1 x n x n 2 … x n n - 1 = ∏ x i - x j i > j .  

A expressão à direita significa o produto de todos os termos x i - x j tais que i > j e i , j = 1 , … , n . (Sugestão: Mostre primeiro que V 3 = x 3 - x 2 x 2 - x 1 x 3 - x 1 . Suponha que o resultado é verdadeiro para matrizes de Vandermonde de ordem n - 1 , mostre que o resultado e verdadeiro para matrizes de Vandermonde de ordem n . Faça as seguintes operações nas colunas da matriz, - x 1 C i - 1 + C i → C i , para i = n , … , 2 . Obtenha V n = x n - x 1 … ( x 2 - x 1 ) ( V n - 1 )

Passo 1

Fala aeeeee, tudo tranquilo?

A matriz de Vandermonde   V n é do tipo:

V n =   1 x 1 x 1 2 … x 1 n - 1   1 x 2 x 2 2 … x 2 n - 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 1 x n x n 2 … x n n - 1

Vamos fazer uma eliminação na primeira coluna fazendo:

L 2 = L 2 - L 1 … L n = L n - L 1

Resultando em:

V ' = 1 x 1 x 1 2 … x 1 n - 1   0 x 2 x 2 2 … x 2 n - 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 x n x n 2 … x n n - 1

Passo 2

Agora, eliminando as colunas:

C n = x 1 n - 1 x 2 n - 1 ⋮ x n n - 1 → C n - 1 = x 1 n - 2 x 2 n - 2 - x 1 n - 2 ⋮ x n n - 2 - x 1 n - 2

E agora:

C n = C n - x 1 C n - 1 = 0 x 2 n - 1 - x 1 x 2 n - 2 ⋮ x n n - 1 - x 1 x n n - 2 = 0 x 2 n - 2 ( x 2 - x 1 ) ⋮ x n n - 2 ( x n - x 1 )

Passo 3

Iremos repetir esse processo de forma análoga, até chegarmos a C 2 .

C 2 = C 2 - a 1 C 1 = 0 x 2 - x 1 ⋮ ( x n - x 1 )

Passo 4

Substituindo as colunas na matriz de Vandermonde, teremos:

V = 1 0 … 0   0 x 2 - x 1 … x 2 n - 2 ( x 2 - x 1 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 x n - x 1 … x n n - 2 ( x n - x 1 )

Assim,

det ⁡ V = x n - x 1 … ( x 2 - x 1 ) d e t 1 0 ⋯ 0 0 1 x 2 x 2 n - 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 1 ⋯ x n n - 2

det ⁡ V = ∏ x i - x j i > j .  

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o .

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Decida se matriz A = 1 2 1 1 3 5 3 3 1 2 8 2 1 2 9 2 é invertível e, caso for, usae o método da adjunta para encontrar a inversa.
Seja A = a b c d e f g h i supondeo que det ⁡ A = - 7 , obtenha det ⁡ A - 1
Em cada parte, encontre o determinante, sabendo que A é uma matriz 3 × 3 com det ⁡ A = 7 b )det ⁡ A - 1
Seja A = a b c d e f g h i supondeo que det ⁡ A = - 7 , obtenha det ⁡ a g d b h e c i f
Em cada parte, encontre o determinante, sabendo que A é uma matriz 4 × 4 com det ⁡ A = - 2 b )det ⁡ A - 1