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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 2.10 - Ex. 38a

Determina o espaço de P 2 (espaço vetorial dos polinômios de grau ≤ 2 ) gerado pelos seguintes vetores:

p 1 = 2 x + 2

p 2 = - x 2 + x + 3

p 3 = x 2 + 2 x

Passo 1

Fala ai meu querido para descobrir esses espações vetoriais, vamos seguir a seguinte ideia: vamos associar cada polinômio a um vetor, fazendo assim, o polinômio genérico p = a x 2 + b x + c é nosso vetor v = ( a ,   b ,   c ) . Isso permite que a gente trabalhe com muito mais liberdade com o espaço vetorial! Daí, usando essa idéia, vamos obter:

p 1 = 2 x + 2 → v 1 = 0 ,   2 ,   2

p 2 = - x 2 + x + 3 → v 2 = - 1 ,   1 ,   3

p 3 = x 2 + 2 x → v 3 = ( 1 ,   2 ,   0 )

Passo 2

Pra achar o espaço vetorial, o que a gente precisa fazer é lembrar que o espaço gerado pelos vetores são todas as combinações lineares que conseguimos fazer com eles! Então um polinômio qualquer desse espaço vai ser escrito assim:

p = k p 1 + m p 2 + n p 3

k 0 ,   2 ,   2 + m - 1 ,   1 ,   3 + n 1 ,   2 ,   0 = a ,   b ,   c

Então estamos tentando encontrar o vetor genérico a ,   b ,   c a partir dos vetores de polinômios que descrevemos no Passo 1.

Isso vai gerar o sistema:

- m + n = a 2 k + m + 2 n = b 2 k + 3 m = c

Passo 3

Agora vamos resolver esse sisteminha! Da primeira e da terceira equações:

n = m + a

k = c - 3 m 2

Substituindo isso na segunda equação:

2 c - 3 m 2 + m + 2 m + a = b

c - 3 m + m + 2 m + 2 a = b

2 a - b + c = 0

Essa é a definição do subespaço! Vão ser os polinômios p = a x 2 + b x + c que tem os coeficientes atendendo essa equação aí! Por isso, o subespaço vai ser:

a x 2 + b x + c ; 2 a - b + c = 0

Ou se quiser deixar como está o gabarito:

a x 2 + b x + c ; b = 2 a + c

Resposta

a x 2 + b x + c ; b = 2 a + c

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