Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 2.10 - Ex. 40
Mostrar que os vetores e geram o .
Passo 1
Fala ai meu querido para resolver esse problema e o que vai ser o pulo do gato muitas vezes daqui pra frente, é o seguinte:
Para vetores, de componentes , formarem o , todos eles têm que ser .
Faz sentido, né? Pega a base canônica do por exemplo: são os vetores , e . Daí, temos vetores necessários pra formar o espaço, todos eles , sacou?
Passo 2
Beleza, isso aí vai servir pra gente no também! Vamos precisar de vetores da forma , ambos , pra gerar o .
Nos vetores da questão a gente já tem quase tudo: dois vetores de duas componentes cada. Se a gente garantir que eles são , fechou o nosso problema! Vamos testar.
Ser significa que a única combinação linear que leva no vetor nulo é a que tem todos os coeficientes nulos. Bora fazer as contas então!
Isso nos dá o sistema:
Subtraindo as equações, encontramos , e substituindo em qualquer uma vamos encontrar . É isso que a gente queria!
Garantimos então que eles são , e portanto esses vetores geram o .
Resposta
Demonstração.