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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 4.8 - Ex. 32

Seja T :   R 3 → R 2 tal que

T B 2 B 1 = 1 0 - 1 - 1 1 1

sendo B 1 = { 0 ,   1 ,   1 ,   1 ,   0 ,   0 ,   1 ,   0 ,   1 } e B 2 = { - 1 ,   0 ,   0 ,   - 1 } bases do R 3 e do R 2 , respectivamente.

a) Encontrar a expressão de T ( x , y , z ) .

b) Determinar I m ( T ) e uma base para esse subespaço.

c) Determinar N ( T ) e uma base para esse subespaço.

d) T é injetora? T é sobrejetora?

Passo 1

A questão fornece a matriz de transformação linear entre duas bases (que não são canônicas) e pede para acharmos a expressão de T ( x , y , z ) . Para isso, precisamos achar T ( 1 ,   0 ,   0 ) , T ( 0 ,   1 ,   0 ) e T ( 0 ,   0 ,   1 ) .

Usando produto de matriz, podemos calcular T ( 0 ,   1 ,   1 ) , T ( 1 ,   0 ,   0 ) e T ( 1 ,   0 ,   1 ) com relação à base B 2 :

1 0 - 1 - 1 1 1 ⋅ 0 1 1 = - 1 2

1 0 - 1 - 1 1 1 ⋅ 1 0 0 = 1 - 1

1 0 - 1 - 1 1 1 ⋅ 1 0 1 = 0 0

Assim, temos que

T 0 ,   1 ,   1 = - 1 ,   2 B 2

T 1 ,   0 ,   0 = 1 ,   - 1 B 2

T 1 ,   0 ,   1 = 0 ,   0 B 2

Passo 2

Precisamos escrever isso em termos da base canônica do R 2 :

T 0 ,   1 ,   1 = - 1   - 1 ,   0 + 2   0 , - 1 = ( 1 ,   - 2 )

T 1 ,   0 ,   0 = 1   - 1 ,   0 - 1   0 ,   - 1 = ( - 1 ,   1 )

T 1 ,   0 ,   1 = 0   - 1 ,   0 + 0   0 ,   - 1 = ( 0 ,   0 )

Agora que sabemos como esses vetores se transformam e como escrevê-los na base canônica, podemos procurar T ( 1 ,   0 ,   0 ) , T ( 0 ,   1 ,   0 ) e T ( 0 ,   0 ,   1 ) . Note que

T 0 ,   1 ,   1 = T 0 ,   1 ,   0 + T 0 ,   0 ,   1 = ( 1 ,   - 2 )

T 1 ,   0 ,   1 = T 1 ,   0 ,   0 + T 0 ,   0 ,   1 = ( 0 ,   0 )

Já sabemos que T 1 ,   0 ,   0 = ( - 1 ,   1 ) , de modo que

T 0 ,   1 ,   0 + T 0 ,   0 ,   1 = ( 1 ,   - 2 ) - 1 ,   1 + T 0 ,   0 ,   1 = ( 0 , 0 )

Da segunda equação tiramos que

T 0 ,   0 ,   1 = 0 ,   0 - - 1 ,   1 = ( 1 ,   - 1 )

Substituindo na primeira:

T 0 ,   1 ,   0 = 1 , - 2 - 1 , - 1 = ( 0 ,   - 1 )

Passo 3

Agora podemos achar T ( x , y , z ) :

T x , y , z = x   T 1 ,   0 ,   0 + y   T 0 ,   1 ,   0 + z   T ( 0 ,   0 ,   1 )

Logo,

T x , y , z = x   - 1 ,   1 + y   0 ,   - 1 + z   1 , - 1

Portanto,

T x , y , z = ( - x + z , x - y - z )

A imagem é gerada pelo conjunto - 1,1 ,   0 ,   - 1 ,   1 , - 1 que é claramente LD. Assim, a imagem será I m T = R 2 e uma de suas possíveis bases será B = { - 1 ,   1 ,   0 , - 1 } .

Já para o núcleo, basta tomar T x , y , z = ( 0 ,   0 ) :

- x + z = 0 x - y - z = 0

Tiramos então que x = z e y = 0 . Portanto, um elemento ( x , y , z ) do núcleo deve ser tal que

x , y , z = x ,   0 ,   x = x   ( 1 ,   0 ,   1 )

Portanto, A = 1 ,   0 ,   1 é uma base para o núcleo N T = [ 1 ,   0 ,   1 ]

Passo 4

Como dim ⁡ N ( T ) = 1 ≠ 0 , T não é injetora. Por outro lado, como a imagem é R 2 (que é o espaço de chegada da transformação), T é sobrejetora!

Resposta

T x , y , z = ( - x + z , x - y - z )

I m T = R 2   e   B = { - 1 ,   1 ,   0 , - 1 }

N T = 1 ,   0 ,   1   e   A = { 1 ,   0 ,   1 }

Não é injetora, mas é sobrejetora.

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Conforme indicado na figura, seja T : R 2 → R 2 o operador linear que reflete cada ponto no eixo y .Encontre o núcleo de T . T será injetora? Justifique sua resposta.
Quais das transformações do Exercício 1 são sobre. T : R 2 → R 2 , com T x ,y = ( y ,x ) . T : R 2 → R 2 , com T x ,y = ( 0 ,2 x + 3 y ) . T : R 2 → R 2 , com T x ,y = ( x + y ,x - y ) . T : R 2 → R 3
Seja T : V → V um operador linear. Prove que T é injetor se, e só se, det ⁡ T ≠ 0
(Requer Cálculo) Seja J : P 1 → R a transformação de integração J p = ∫ - 1 1 p x d x . Determine se J é injetora. Justifique sua resposta.
(Requer Cálculo) Seja V o espaço vetorial C 1 0 ,1 e defina T : V → R por T f = f 0 + 2 f ' 0 + 3 f ' ( 1 ) Verifique que T é uma transformação linear. Determine se T é injetora e justifique sua respo