Descreva o lugar geométrico dos pontos do plano π que equidistam de A e B e comente as peculiaridades geométricas de cada caso.

b) π : 2 x + 2 y - z = 0                   A = 0 ,   1 , 1 2                     B = 2 ,   3 ,   - 1 2

Passo 1

b) Queremos pontos P = ( x ,   y ,   z ) que tenham a mesma distância até A = 0 ,   1 , 1 2 e B = 2 ,   3 ,   - 1 2 , então:

d P ,   A = d ( P ,   B )

Usando a fórmula de distância entre pontos:

x - 0 2 + y - 1 2 + z - 1 2 2 = x - 2 2 + y - 3 2 + z + 1 2 2

x 2 + y - 1 2 + z - 1 2 2 = x - 2 2 + y - 3 2 + z + 1 2 2

Elevando os dois lados ao quadrado:

x 2 + y - 1 2 + z - 1 2 2 = x - 2 2 + y - 3 2 + z + 1 2 2

Desenvolvendo os produtos notáveis:

x 2 + y 2 - 2 y + 1 + z 2 - z + 1 4 = x 2 - 4 x + 4 + y 2 - 6 y + 9 + z 2 + z + 1 4

- 4 x - 4 y + 2 z + 12 = 0

Dividindo tudo por 2:

- 2 x - 2 y + z + 6 = 0

Passo 2

Temos duas informações sobre nosso lugar geométrico: que 2 x + 2 y - z = 0 (pela equação do plano) e que - 2 x - 2 y + z + 6 = 0 (pela equação de distância até os pontos). Então temos o sistema

2 x + 2 y - z = 0 - 2 x - 2 y + z + 6 = 0

Somando as duas equações, temos:

6 = 0

Opa, nossas variáveis sumiram e ainda por cima chegamos em uma desigualdade :O Isso quer dizer que não existe um lugar geométrico ( x ,   y ,   z ) do plano que seja equidistante a A e B :(

Resposta

b) Não existe lugar geométrico que satisfaça as condições.

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