Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 20.Exercício - Ex. 5a
Descreva o lugar geométrico dos pontos do plano que equidistam de e e comente as peculiaridades geométricas de cada caso.
a)
Passo 1
a) Vamos primeiro encontrar a equação geral de . O seu vetor normal é dado pelo produto vetorial dos seus vetores diretores:
Então, a equação do plano pode ser escrita assim olha:
Para encontrarmos , vamos substituir o ponto , que pertence ao plano:
Então:
Passo 2
Queremos pontos que tenham a mesma distância até e , então:
Usando a fórmula de distância entre pontos:
Elevando os dois lados ao quadrado:
Desenvolvendo os produtos notáveis:
Passo 3
Temos duas informações sobre nosso lugar geométrico: que (pela equação do plano) e que (pela equação de distância até os pontos). Então temos o sistema
Da segunda equação, temos que , substituindo na primeira:
Então
Passo 4
O nosso lugar geométrico , então, pode ser escrito assim:
Então nosso lugar geométrico equidistante até e é uma reta :)
Resposta
a)
Uma reta.