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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 7.3 - Ex. 6

Seja

A = ([[[[a],[a],[vdots]]],[a]]) ( b b ... b )

Quanto é d e t ( A ) ?

Passo 1

Primeiro podemos tentar entender como podemos escrever melhor nossa matriz A . Ou seja, fazendo a multiplicação dos vetores, teremos

([[[[a],[a],[vdots]]],[a]]) (b b ... b) = ([[a,b,cdots,a,b],[vdots,ddots,vdots],[a,b,cdots,a,b]])

Ou seja, a multiplicação das matrizes n xx 1 * 1 xx n implica em uma matriz n xx n que mutiplica cada elemento de uma com o elemento da outra matriz.

Passo 2

Então agora podemos calcular o determinante de nossa matriz A dada por

det (A) = det ([[a,b,cdots,a,b],[vdots,ddots,vdots],[a,b,cdots,a,b]])

Se removermos o termo a b de uma determinada linha, teremos que

det ([[a,b,cdots,a,b],[vdots,ddots,vdots],[a,b,cdots,a,b]]) = a b * det ([[[[a,b,cdots,a,b],[vdots,ddots,vdots],[a,b,cdots,a,b]]],[[[1,cdots,1]]]])

Se removermos de todas as linhas

det ([[a,b,cdots,a,b],[vdots,ddots,vdots],[a,b,cdots,a,b]]) = (a b)^n * det ([[1,cdots,1],[vdots,ddots,vdots],[1,cdots,1]])

Passo 3

Agora perceba o seguinte: tome o determinante da matriz a baixo

det ([[1,1],[1,1]]) = 1 - 1 = 0

Se nossa matriz fosse 3 xx 3 então pelo método do co-fator

det ([[1,1,1],[1,1,1],[1,1,1]]) = + 1 * det ([[1,1],[1,1]]) - 1 * det ([[1,1],[1,1]]) + 1 * det ([[1,1],[1,1]]) = 0

E se fossemos aplicar mais pra matrizes maiores n xx n . Teriamos uma série de somadas de zeros. Logo simplesmente por termos duas linhas iguais jão teriamos que o determinate é nulo. Desta forma termos que o determinante de A : n xx n será nulo.

Resposta

z e r o

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