Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 4.8 - Ex. 50
O vetor experimenta sequencialmente:
1) Uma reflexão em torno da reta ;
2) Um cisalhamento horizontal da fetor ;
3) Uma contração na direção de fator ;
4) Uma rotação de no sentido anti-horário.
a) Calcular o vetor resultante dessa sequência de operações.
b) Encontrar a expressão da transformação linear que representa a composta das quatros operações.
c) Determinar a matriz canônica da composta das operações.
Passo 1
O problema pede para estudarmos a transformação composta que representa a sequência de transformações dadas. Por simplicidade, vou fazer o exercício de trás para frente: achar primeiro a matriz, depois a transformação e só daí calcular o vetor resultante quando essa transformação age sobre .
Para acharmos a matrzi, lembre-se que
Assim, temos que achar a matriz de cada transformação e multilplicar todas elas, seguindo a ordem da última transformação para a primeira.
Neste caso, a primeira transformação é uma reflexão em torno da reta :
Assim,
Já a segunda transformação é um cisalhamento por fator na direção :
Portanto,
Já a terceira transformação é uma contração por fator na direção :
Logo,
Por fim, a última transformação é uma rotação de no sentido anti-horário. Usando a matriz de rotação com :
Assim, a matriz resultante será
Portanto,
Logo,
Passo 2
Da matriz, tiramos que
Portanto,
Assim,