Determinar n de modo que os planos π 1 e π 2 sejam perpendiculares:

b) π 1 : x = 2 - h + 2 t y = 2 h + 3 z = t - 2 h + 1                                     e                                 π 2 : 2 m x + 4 y - z - 1 = 0  

Passo 1

Opaaa... belezinha???

Nessa questão vamos precisar lembrar que se tivermos um plano qualquer π : a x + b y + c z + d = 0 , então podemos representar o vetor normal a ele como:

n = a , b , y

E também que pra dois vetores serem perpendiculares, o seu produto interno é igual a zero:

n 1 ⋅ n 2 = 0

Então bora lá...

Passo 2

Antes de tudo vamos dar uma mexida no primeiro plano:

Isolando h na segunda equação:

y = 2 h + 3

h = y 2 - 3 2

Substituindo na terceira equação:

z = t - 2 h + 1

z = t - 2 y 2 - 3 2 + 1

z = t - y + 3 + 1

z = t - y + 4

Agora isolando t :

z = t - y + 4

t = z + y - 4

E substituindo h e t na primeira equação:

x = 2 - h + 2 t

x = 2 - y 2 - 3 2 + 2 z + y - 4

x = 2 - y 2 + 3 2 + 2 z + 2 y - 8

x = - 9 2 + 3 2 y + 2 z

x - 3 2 y - 2 z + 9 2 = 0

Agora fica mais fácil da gente ver qual é o vetor normal, né?

n 1 = 1 , - 3 2 , - 2

E para o plano 2:

n 2 = ( 2 m , 4 , - 1 )

Passo 3

Agora só falta fazer o produto interno e igualar a zero:

n 1 ⋅ n 2 = 0

1 , - 3 2 , - 2 ⋅ 2 m , 4 , - 1 = 0

1 2 m + - 3 2 4 + - 2 - 1 = 0

2 m - 6 + 2 = 0

m = 2

E conseguimos achar o m . Show de bola né? Mas bora pro próximo exercício??

Resposta

m = 2

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