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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 6.Problemas propostos - Ex. 34b

Determinar n de modo que os planos π 1 e π 2 sejam perpendiculares:

b) π 1 : x = 2 - h + 2 t y = 2 h + 3 z = t - 2 h + 1                                     e                                 π 2 : 2 m x + 4 y - z - 1 = 0  

Passo 1

Opaaa... belezinha???

Nessa questão vamos precisar lembrar que se tivermos um plano qualquer π : a x + b y + c z + d = 0 , então podemos representar o vetor normal a ele como:

n = a , b , y

E também que pra dois vetores serem perpendiculares, o seu produto interno é igual a zero:

n 1 ⋅ n 2 = 0

Então bora lá...

Passo 2

Antes de tudo vamos dar uma mexida no primeiro plano:

Isolando h na segunda equação:

y = 2 h + 3

h = y 2 - 3 2

Substituindo na terceira equação:

z = t - 2 h + 1

z = t - 2 y 2 - 3 2 + 1

z = t - y + 3 + 1

z = t - y + 4

Agora isolando t :

z = t - y + 4

t = z + y - 4

E substituindo h e t na primeira equação:

x = 2 - h + 2 t

x = 2 - y 2 - 3 2 + 2 z + y - 4

x = 2 - y 2 + 3 2 + 2 z + 2 y - 8

x = - 9 2 + 3 2 y + 2 z

x - 3 2 y - 2 z + 9 2 = 0

Agora fica mais fácil da gente ver qual é o vetor normal, né?

n 1 = 1 , - 3 2 , - 2

E para o plano 2:

n 2 = ( 2 m , 4 , - 1 )

Passo 3

Agora só falta fazer o produto interno e igualar a zero:

n 1 ⋅ n 2 = 0

1 , - 3 2 , - 2 ⋅ 2 m , 4 , - 1 = 0

1 2 m + - 3 2 4 + - 2 - 1 = 0

2 m - 6 + 2 = 0

m = 2

E conseguimos achar o m . Show de bola né? Mas bora pro próximo exercício??

Resposta

m = 2

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Decomponha o vetor u → = ( - 3 ,4 ,- 5 ) em duas parcelas, uma paralela e outra ortogonal ao plano de equação vetorial X = 1 ,- 2 ,0 + λ- 1 ,0 ,1 + μ( 0 ,0 ,- 1 ) .
Obtenha um vetor normal ao plano π em cada caso:a) π contém A = ( 1 ,1 ,1 ) , B = ( 1 ,0 ,1 ) e C = ( 1 ,2 ,3 ) .b) π : x - 2 y + 4 z + 1 = 0 .c) π : X = 1 ,2 ,0 + λ1 ,- 1 ,1 + μ( 0 ,1 ,- 2 ) .
O vetor ( 1 ,1 ,m ) é normal ao plano π , que contém a intersecção dos planos π 1 : x - y + z + 1 = 0 e O y z . Determine m e obtenha uma equação geral de π .
Obtenha uma equação geral do plano que contém a reta r : X = 1 ,0 ,2 + λ( 4 ,1 ,0 ) e é perpendicular a π : 3 x + y + z = 0 .
Obtenha uma equção geral do plano que contém a origem do sistema de coordenadas, é paralelo a r :- x = 1 - y / 4 = ( 1 - z ) / 5 e perpendicular a π : X = 1 ,2 ,3 + λ0 ,4 ,- 3 + μ( 1 ,- 1 ,- 2 ) .