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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 2.10 - Ex. 43

Determinar o subespaço de P 3 (espaço dos polinômios de grau ≤ 3 ) gerado pelos vetores p 1 = x 3 + 2 x 2 - x + 3 e p 2 = - 2 x 3 - x 2 + 3 x + 2 .

Passo 1

Um macete muito bom pra questões de polinômios misturados a álgebra linear é associar um polinômio p = a x 3 + b x 2 + c x + d a um vetor v = ( a ,   b ,   c ,   d ) com os coeficientes. Sacou a idéia? Fazendo essa analogia, o que a gente quer encontrar é o subespaço gerado pelos vetores v 1 = ( 1 ,   2 ,   - 1 ,   3 ) e v 2 = ( - 2 ,   - 1 ,   3 ,   2 ) . Um vetor v desse subespaço é uma combinação linear desses dois vetores. Assim, podemos escrever:

v = m v 1 + n v 2

a ,   b ,   c ,   d = m 1 ,   2 ,   - 1 ,   3 + n ( - 2 ,   - 1 ,   3 ,   2 )

a ,   b ,   c ,   d = ( m - 2 n ,   2 m - n ,   - m + 3 n ,   3 m + 2 n )

Isso nos dá um sisteminha:

m - 2 n = a 2 m - n = b - m + 3 n = c 3 m + 2 n = d

Passo 2

A gente precisa eliminar m e n dessa conta, ao mesmo tempo que precisamos achar uma relação entre as outras letras. Tem muitas parametrizações pra fazer, e a gente pode escolher qualquer uma delas porque todas são equivalentes. Aqui eu vou escrever c e d em função de a e b . Não esquece, podia ser outra também, e estaria certa! Primeiro vamos escrever c :

c = k a + l b

- m + 3 n = k m - 2 n + l ( 2 m - n )

- m + 3 n = k + 2 l m + - 2 k - l n

Igualando os coeficientes:

k + 2 l = - 1 - 2 k - l = 3

Pra sumir com o k , vamos fazer a segunda mais o dobro da primeira:

- 2 k - l + 2 k + 2 l = 2 - 1 + 3

3 l = 1

l = 1 3

Substituindo na primeira:

l + 2 1 3 = - 1

k = - 5 3

Daí,

c = - 5 3 a + 1 3 b

Passo 3

Agora o mesmo para d :

d = k a + l b

3 m + 2 n = k m - 2 n + l 2 m - n

3 m + 2 n = k + 2 l m + - 2 k - l n

Igualando os coeficientes:

k + 2 l = 3 - 2 k - l = 2

Pra sumir com o k , vamos fazer a segunda mais o dobro da primeira:

- 2 k - l + 2 k + 2 l = 2 3 + 2

3 l = 8

l = 8 3

Substituindo na primeira:

l + 2 8 3 = - 1

k = - 19 3

Daí,

d = - 19 3 a + 8 3 b

Resposta

Então o nosso espaço é:

a x 3 + b x 2 + c x + d ;   c = - 5 a 3 + b 3 ,   d = - 19 a 3 + 8 b 3

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Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de R 3 ?b) u 1 =3 ,1 ,- 4 ,u 2 =2 ,5 ,6 ,u 3 = ( 1 ,4 ,8 )
Encontre uma base do espaço vetorial de todas as matrizes 3 × 3 antissimétricas.