Enunciado

Determinar o valor de y para que seja equilátero o triangulo de vértices A(4,y,4), B(10,y,-2) e C(2,0,-4)

Passo 1

Para um triângulo ser equilátero, precisamos que os seus lados sejam iguais, ou seja:

| A B → | = B C → = | A C → |

Vamos começar achando A B → , B C → e   A C →

A B → = B - A = 10 , y , - 2 - 4 , y , 4 = ( 6,0 , - 6 )

B C → = C - B = 2,0 , - 4 - 10 , y , - 2 = ( - 8 , - y , - 2 )

A C → = C - A = 2,0 , - 4 - 4 , y , 4 = ( - 2 , - y , - 8 )

Passo 2

Vamos começar calculando o módulo de A B → :

A B → = 6 2 + 0 2 + - 6 2

A B → = 36 + 36

A B → = 72

E agora o módulo de A C → :

| A C → | = - 2 2 + - y 2 + - 8 2

A C → = 4 + y 2 + 64

A C → = y 2 + 68

Passo 3

Como o triangulo é equilátero, temos que A B → = | A C → | , então temos que:

72 = y 2 + 68

Elevando os dois lados ao quadrado, ficamos com

72 = y 2 + 68

y 2 = 4

Então:

y = ± 2

Resposta

y = ± 2

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