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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 2.Exercício - Ex. 10

10. Utilize o paralelepípedo da figura 2-9 (a) para determinar o vetor x → em cada caso:

a) x → = G H → - H E → - F E → + A E → + A B →

b) x → = H D → - C F → + D G → + B C → + A F → - B E →

c) x → = A B → + H G → + A C → + D F → + C E → + B D →

Passo 1

A figura 2-9 que ele cita é essa aqui:

Para facilitar vou escrever os vetores iguais, para fazermos isso apenas pegamos os vetores paralelos.

A B → = H G → = C D → = E F →

A H → = B G → = D F → = C E →

A C → = B D → = G F → = H E →

Nossa ideia vai ser sempre escrever em função de A B → , A H → e A C →

Passo 2

Vamos começar com a letra a)

Vamos antes de tudo trocar os sinais do que está negativo!

- H E → = E H →

- F E → = E F →

Reescrevendo, temos:

x → = G H → + E H → + E F → + A E → + A B →

Desenhando esses vetores na figura, temos:

A soma de   E H → + E F →   é dada pelo vetor que F H → .

Já a soma do vetor A E → + A B → é da dada pelo vetor E B → .

Reescrevendo a soma, temos:

x = G H → + F H → + E B →

Passo 3

b) Na letra B temos

x → = H D → - C F → + D G → + B C → + A F → - B E →

Que podemos reescrever da seguinte forma

H D → = H A → + A B → + B D → = - A H → + A B → + A C →

C F → = C E → + E F → = A H → + A B →

D G → = D B → + B G → = - A C → + A H →

B C → = B A → + A C → = - A B → + A C →

A F → = A H → + H G → + G F → = A H → + A B → + A C →

B E → = B D → + D C → + C E → = A C → - A B → + A H →

Jogando tudo na nossa equação para x →

x → = - A H → + A B → + A C → - A H → + A B → - A C → + A H → - A B → + A C → + A H → + A B → + A C → - A C → - A B → + A H →

x → = - A H → + A B → + A C →

Passo 4

Já na letra C temos que fazer

x → = A B → + H G → + A C → + D F → + C E → + B D →

E aí reescrevemos da seguinte forma

H G → = A B →

D F → = A H →

C E → = A H →

B D → = A C →

Então

x → = A B → + A B → + A C → + A H → + A H → + A C →

x → = 2 A B → + A C → + A H →

Belezinha? :)

Resposta

a)

x = G H → + F H → + E B →

b)

x → = - A H → + A B → + A C →

c)

x → = 2 A B → + A C → + A H →

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