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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 1.4 - Ex. 2

Determinar os valores de a e b que tornam o sistema

3 x - 7 y = a x + y = b 5 x + 3 y = 5 a + 2 b x + 2 y = a + b - 1

Compatível e determinado. Em seguida resolver o problema.

Passo 1

Primeiro passo será Isolar o x de 3 x - 7 y = a

a + 7 y 3 + y = b 5 × a + 7 y 3 + 3 y = 5 a + 2 b a + 7 y 3 + 2 y = a + b - 1

Passo 2

Agora vamos simplificar para facilitar nossa vida, beleza?!

a + 7 y 3 + y = b 5 × a + 7 y 3 + 3 y = 5 a + 2 b a + 7 y 3 + 2 y = a + b - 1 ⟹ a + 10 y 3 = b 5 a + 44 y 3 = 5 a + 2 b a + 13 y 3 = a + b - 1

Passo 3

Próximo passo será isolar a de a + 10 y 3 = b . Assim,

a + 10 y 3 = b   ⇒ a = 3 b - 10 y

Portanto,

5 3 b - 10 y + 44 y 3 = 5 3 b - 10 y + 2 b 3 b - 10 y + 13 y 3 = 3 b - 10 y + b - 1

Passo 4

Agora vamos simplificar novamente pois não queremos sofrer, né?! Ahahahah

5 3 b - 10 y + 44 y 3 = 5 3 b - 10 y + 2 b 3 b - 10 y + 13 y 3 = 3 b - 10 y + b - 1 ⟹ 5 b - 2 y = 17 b - 50 y b + y = 4 b - 10 y - 1

Passo 5

Agora vamos isolar b de 5 b - 2 y = 17 b - 50 y , ficando com b = 4 y . Assim, substituindo, ficamos com

5 y = 6 y - 1 ⟹ y = 1

Passo 6

Agora vamos “voltar atrás” substiuindo os valores que encontramos.

Substituindo y = 1   em b = 4 y

b = 4 × 1 ⟹ b = 4

Substituindo os valores de y e b em a + 10 y 3 = b

a + 10 y 3 = b ⟹ a = 2

E por fim,

3 x - 7 y = a ⟹ x = a + 7 y 3 = 2 + 7 × 1 3 = 3

Resposta

x = 3   ,   a = 2   ,   y = 1   ,   b = 4  

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Aplique o processo de escalonamento a cada um dos sistemas abaixo e, a partir do resultado, identifique em qual dos oito casos da seção anterior o sistema se enquadra.1) x+2 y+3 z=4 3 x-y+2 z=5 9 x -
Obtenha as soluções dos seguintes sistemas de equações lineares:
Obtenha as soluções dos seguintes sistemas de equações lineares: c) x–2 y+z+t=1 2 x+y-2 z+2 t=0 x+6 y=- 2
Obtenha as soluções dos seguintes sistemas de equações lineares: b) 2 x–2 y+4 z=1 2 x+7 z=1 x-y+6 z=1 ,5 2 y+6 z=2 4 x-3 y+12 z=5
Use escalonamento para mostrar que um sistema 3 × 3 cujas linhas ℓ1, ℓ2, ℓ3 são linearmente independentes possui uma única solução.