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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 17.Exercício - Ex. 1e

Verifique se as retas r e s são ortogonais ou perpendiculares.

r : 36 x - 9 y = 3 y + 4 z = 18                                               s : x + y = z - y - 2 = 0

Passo 1

Nesse caso o enunciado nos deu equações de reta na forma:

r :   4 x - y = 2 3 y + 4 z = 18                                       s :   x + y = 0 z - y = 2

Vamos olhar primeiro para a reta r . Da primeira equação, tiramos

y = 4 x - 2

Substituindo na segunda:

3 ⋅ 4 x - 2 + 4 z = 18 ⇒ 12 x - 6 + 4 z = 18 ⇒ 12 x + 4 z = 24 ⇒ z = 6 - 3 x

Assim,

x ,   y ,   z = x ,   4 x - 2 ,   6 - 3 x = 0 ,   - 2 ,   6 + x   ( 1 ,   4 ,   - 3 )

Ela passa pelo ponto ( 0 ,   - 2 ,   6 ) e tem vetor diretor u → = ( 1 ,   4 ,   - 3 ) .

Agora vamos olhar para s . Da primeira equação

y = - x

Substituindo na segunda:

z - - x = 2 ⇒ z = 2 - x

Logo,

x ,   y ,   z = x ,   - x ,   2 - x = 0 ,   0 ,   2 + λ   ( 1 ,   - 1 ,   - 1 )

Portanto, ela passa por ( 0 ,   0 ,   2 ) e tem vetor diretor v → = ( 1 ,   - 1 ,   - 1 ) .

Fazendo o produto escalar dos vetores diretores:

u → ⋅ v → = 1 - 4 + 3 = 0

Como o produto escalar dos vetores diretores é nulo, as retas são ortogonais, mas elas podem ser ortogonais reversas ou concorrentes. Se forem concorrentes, daí elas serão perpendiculares.

Passo 2

Os pontos da reta r são do tipo

x ,   4 x - 2 ,   6 - 3 x

Já os da reta s são

x ,   - x ,   2 - x

Igualando os dois:

x ,   4 x - 2 ,   6 - 3 x = x ,   - x ,   2 - x

Portanto,

4 x - 2 = - x ⇒ 5 x = 2 ⇒ x = 2 5

Mas será que isso satisfaz a igualdade na última coordenada?

6 - 3 x = 6 - 6 5 = 30 5 - 6 5 = 24 5

2 - x = 2 - 2 5 = 10 5 - 2 5 = 8 5

A resposta é não! Assim, esse sistema não tem solução e as retas não se cruzam em nenhum ponto! As retas são apenas ortogonais, não perpendiculares.

Resposta

Ortogonais, mas não perpendiculares.

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