Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 16.Exercício - Ex. 4
Sejam e . Estude, segundo os valores de , a posição relativa de e e obtenha, quando for o caso, uma equação geral do plano determinado por elas.
Passo 1
Primeiro vamos ver quando as retas vão ser paralelas ok?
Para isso:
Igualando as coordenadas:
Da primeira equação, temos , da segunda temos , mas na terceira, teríamos
Chegamos em uma desigualdade, então o sistema não é possível e portanto não existe tal que os vetores sejam LD ok?
Então já sabemos que as retas sempre vão ser reversas ou concorrentes hehe
Passo 2
Seja da reta e da reta , temos .
Vamos calcular o determinante de linhas :
Sabemos que quando esse determinante for 0, as retas serão concorrentes:
Então, para , as retas são concorrentes, e para , elas são reversas :D
Passo 3
Como as retas sempre serão concorrentes ou reversas, só podemos encontrar um plano para o caso em que são concorrentes, ou seja, quando :
e
O plano formado pelas duas retas terá como vetor normal o produto vetorial dos vetores diretores das retas:
Então, a equação geral do plano é escrita assim:
Para encontrarmos , vamos substituir o ponto de na equação do plano, pois esse ponto também pertence ao plano certo?
Então:
Resposta
Para , as retas são concorrentes, e para , elas são reversas.
Quando as retas são concorrentes, temos o plano