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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 18.Exercício - Ex. 4

Para que valores de m existe uma única reta paralela ao vetor u → = ( 1 ,   1 ,   0 ) que seja concorrente com r : X = 2 ,   - 1 ,   1 + λ   ( 1 ,   m ,   3 ) e s : X = 3 ,   1 ,   1 + μ   ( 1 ,   1 ,   m ) ?

Passo 1

Bom, primeiro vamos escrever os pontos genéricos M e N nas retas r e s , respectivamente, que representam os pontos de intersecção da reta procurado com essas retas:

M = ( 2 + λ ,   - 1 + λ m ,   1 + 3 λ )

N = ( 3 + μ ,   1 + μ ,   1 + μ m )

Assim,

M N → = N - M = ( 1 - λ + μ ,   2 - λ m + μ ,   - 3 λ + μ m )

Passo 2

Para que essa reta seja paralela a u → = ( 1 ,   1 ,   0 ) , devemos ter

M N → = k   u → ⇒ 1 - λ + μ = k 2 - λ m + μ = k - 3 λ + μ m = 0

Da terceira equação, já tiramos que

λ = μ m 3

Substitituindo de volta nas primeiras equações:

1 - μ m 3 + μ = k 2 - μ m 2 3 + μ = k

Igualdando as duas:

1 - μ m 3 + μ = 2 - μ m 2 3 + μ ⇒ - μ m 3 = 1 - μ m 2 3 ⇒ - μ m = 3 - μ m 2

Portanto,

μ m 2 - m = 3 ⇒ μ m   m - 1 = 3 ⇒ μ = 3 m   ( m - 1 )

Essa é a equação que vamos analisar!

Passo 3

A equação que nos interessa é

μ = 3 m   ( m - 1 )

Para m ≠ 0 e m ≠ 1 , o valor de μ será bem definido e único, assim como o de λ . Nesses casos a reta procura é única.

Resposta

m ≠ 0             e               m ≠ 1

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