Determine m e n tais que ( vec u , vec v ) seja LD, sendo vec u = ( 1 , m , n + 1 ) e vec v = ( m , n , 10 ) .

Passo 1

Para que vec u e vec v sejam LD, eles devem ser múltiplos, ou seja, deve existir um alpha != 0 tal que:

(m , n , 10) = alpha ( 1 , m , n + 1 )

(m , n , 10) = ( alpha , m alpha , alpha ( n + 1 ) )

Igualando as coordenadas, temos o sistema:

{[[alpha = m],[m . alpha = n],[alpha (n + 1) = 10]])

Passo 2

Da primeira equação, temos que alpha = m , substituindo na segunda equação:

alpha^2 = n

Substituindo na terceira equação:

alpha (alpha ² + 1) = 10

alpha^3 + alpha - 10 = 0

A única solução real dessa equação do terceiro grau é alpha = 2 .

Passo 3

Substituindo o valor de alpha na primeira equação, temos

m = 2

E na segunda equação, temos

2.2 = n

n = 4

Então, para que os vetores sejam LD, teremos:

(m , n , 10) = alpha ( 1 , m , n + 1 )

(2 , 4 , 10) = 2 ( 1 , 2 , 5 )

Resposta

m = 2 e n = 4

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